u u u grad u =u a x ay az x y z
l
u grad u al l
l
M (x0 +x,y0 + y,z0 + z)
du grad u dl
M0 (x0,y0,z0)
* 标量场的梯度是一个矢量场； * 当al的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。 * 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？ 方向平行
F dl 0
dl axdx aydy azdz
ax ay az A B Ax Ay Az Bx By Bz
F ax Fx ay Fy az Fz
矢量A Ax a x Ay a y Az a z 矢量B Bx a x By a y Bz a z
柱坐标系
divA A 1 ar a az ar Ar a A az Az r z r 1 1 A Az rAr r r r z
其中利用
a ar a , ar
ax F dl Fx
ay Fy
az Fz 0
dx dy dz Fx Fy Fz
求出该微分方程的 通解可绘出矢量线
dx dy dz
例：设点电荷q位于坐标原点.它在周围空间任一点M(x, y, z)所产生的 q 电场强度矢量为:
E
4 0 r
3
r
式中,q和0都是常数;r=axx+ayy+azz 是M点的位置矢径,求E的矢 量线方程的通解并画出矢量线图. 解: E
y
同理 左右
Ay Ay y x z Ay x z y Ay xy z y
z
Ay
Ay y Ay y
o
x
y
上下
Az Az z xy Az xy z Az x y z z
旋度
旋度是反映漩涡源的一个矢量， 方向：使得环量密度最大时面元的法向 大小：该点最大的环量面密度。
dS n
A dl rotA max lim c n n S 0 S
环量面密度等于旋度在面元法线方向的投影
rotA n lim
A ax Ax a y Ay az Az
则A沿闭合路径1234的环量为

c
A dl A a y dy A a z dz
1 2
A a y dy A a z dz
1 2
A Ay y Az z y z y Ay Ay z y Az z z Az Ay y z z y
ar a ar a 0 0 z z r r
球坐标系 divA A 1 2 1 1 A 2 r Ar sin A r r r sin r sin
散度基本运算公式
C 0
(CA) C A
( A B) A B
(uA) u A A u
例：原点处点电荷q产生的电位移矢量 D
试求原点以外的空间点上电位移矢量D的散度。
q q a r 2 r 3 4 r 4 r
r xa x ya y za z
解： D
q x y z a a a 3 x 3 y 3 z 4 r r r qx qy qz , Dy , Dz Dx 3 3 4 r 4 r 4 r 3 Dx q r 2 3 x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz q r 2 3z 2 , , 5 5 r 4 r 4 r5 x 4 y z Dx Dy Dz divD D x y z q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 5 4 r
z
Az A z z z
所以总净通量为
o x
前后
Az
y
A d S
S
左 右 上 下 V
A x A y Az y z x
令 V 0 ，则
V 0
lim

S
A a x Ax a y Ay a z Az
从前后一对表面
z
Ax
x , x x 穿出的净通量
Ax
前后
Ax Ax x y z Ax y z x Ax xy z x
o x
Ax x x
含义：散度为0通量源的密度为0 ??
【Gauss散度定理】
设S是矢量场A 空间内的一个闭合面，V是闭合面S所围的 体积，则有

意义：
V
AdV AdS
S
单位体积的通量的体积分是V内的总通量源，矢量在闭合 面上的面积分也是V内的总通量源，两种算法结果一样。
A dV
散度(divergence)
描述每一点场与源的关系 定义：设有矢量场A ，在场中任意一点M处作一个包 含M点在内的任一闭合曲面S，S所限定的体积为 V ， 当体积 V 以任意方式缩向M点时，取极限，若该极 限存在，则定义为散度。
divA lim
散度的物理意义
•

S
A dS V
V 0
矢量场的旋度

矢量场在闭合路径的环量 矢量场的旋度 旋度的基本运算公式 斯托克斯定理
矢量的环量
环量:矢量A沿闭合路径的线积分。


c
A dl

c
A cos d l
• 环量表达的是旋涡特性，环量越大，旋转的趋势越强 • 与矢量及路径有关 • 描述的是旋涡特性的总量
V
A dS
S

V
AdV A dS
S
证明：对于任意一个小体积元△Vi，有
A lim
在△Vi→0，有
Vi 0

Si
A d S
Vi 0
Vi
lim AVi A dS
Si
对所有△Vi叠加，有
lim AV
矢量场的通量
将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即dS= n dS ,n 是面元法线方向的单位矢量。 面元通量 d A ds Ads cos 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n与表面的闭合曲线构成 右手螺旋关系。 对于闭合表面, n为外法向单位矢。 矢量与 n成锐角，通量为正
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因 此又可称为通量源密度。
在场中任意一点M处 若 div A 0 ，表明该点有发出通量线的正源。 若 div A 0 ，表明该点有吸收通量线的负源。 若 div A 0 ，表明该点无源。
div A 0
div A 0
div A 0
散度运算能起到验源的作用。
散度在三个坐标系中的计算公式
直角坐标系
以点M(x,y,z)为顶点做一个平行六面体，三个边长 x , y , z， 六个面 x , x x , y , y y , z , z z 分别与三个坐标面平 行，体积为 V x y z 。 设点M处的矢量
i 1 Vi 0 i i 1
k
k
Si
A dS
公共面上
nin n jn
A dSi A dS j

i 1
k
Si
A dS A dS
S
则

V
AdV A dS
S
得证。
Guass定理把通量源的体积分变换为S面上场的面积分。
第一章 矢量分析
矢量场和标量场 三种常用的坐标系 矢量的基本运算 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 亥姆霍兹定理
内容回顾---方向导数和梯度
u ( M ) u ( M 0 ) u u u u lim cos cos cos 0 l l l x y z
S 0
c
A dl S
对比方向导数和梯度的概念！！
旋度为0，该点无漩涡 旋度不为0，该点有漩涡 如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场
旋度在三个坐标系中的计算公式
直角坐标系 以点M(x,y,z)为顶点在平行于 yoz平面上，取矩形面元 设点M处的面元矢量为
S x a x y z
A dS V
Ax A y Az x y z
故A的散度为
Ax A y Az div A x y z ax ay az a x Ax a y A y a z A z y z x A
q 4 0 r
3
(a x x a y y a z z ) a x E x a y E y a z E z
y C1 x z C2 y
dx dy dz x y z
式中,C1和C2为任意常数，可以看出， 电力线是一簇从点电荷所在点向空间 发散的径向辐射线，这一簇矢量线形 象地描绘出点电荷的电场分布状况。

环量面密度：
在场矢量A空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边 界曲线为c，面元法线方向为n，当面元面积无限缩小 时,A在点M处沿n方向的环量面密度可定义为：