第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误!未找到引用源。

矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。

矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。

A ·B 和A ⨯B错误!未找到引用源。

A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误!未找到引用源。

A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误!未找到引用源。

A a =A A=（x a +2y a -3z a ） 错误!未找到引用源。

cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误!未找到引用源。

A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。

A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误!未找到引用源。

A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。

求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)错误!未找到引用源。

验证散度定理。

解：错误!未找到引用源。

⎰•s d A=A d S •⎰曲+A d S •⎰xoz+A d S •⎰yoz+A d S •⎰上+A d S •⎰下A d S •⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4A d S •⎰xoz=(3)y z dxdz +⎰xoz=-6A d S •⎰yoz=-23x dydz ⎰yoz=0A d S •⎰上+A d S •⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰•s d A=193错误!未找到引用源。

dV A V⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)Vd d dz ρθρθ+⎰=193即：⎰•ss d A=dV A V⎰•∇1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。

解：⎰•l l d A =2Lxdx xy dy +⎰=44a πA ∇⨯=z a 2y⎰•⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin Sd d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰•ll d A =⎰•⨯∇Ss d A，得证。

1.15求下列标量场的梯度： 错误!未找到引用源。

u=xyz+2xu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy错误!未找到引用源。

u=42x y+2y z -4xzu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)错误!未找到引用源。

u ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a uz∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y1.16 求下列矢量场在给定点的散度错误!未找到引用源。

A •∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z ∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6错误!未找到引用源。

A•∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=21.17求下列矢量场的旋度。

错误!未找到引用源。

A ∇⨯=0错误!未找到引用源。

A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： 错误!未找到引用源。

P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ； 错误!未找到引用源。

从Q 点到P 点的距离矢量R ； 错误!未找到引用源。

r ∇⨯和r•∇； 错误!未找到引用源。

1()R∇。

解：错误!未找到引用源。

r =x a x+y a y+z a z;'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’错误!未找到引用源。

R =r -'r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）错误!未找到引用源。

r ∇⨯=0, r•∇=3错误!未找到引用源。

1R =1()R ∇=(xa x ∂∂+y a y ∂∂+z a z ∂∂)1R=-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x a 3'x x R--y a 3'y y R --z a 3'z z R -=-31R[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]=-3R R 即：1()R∇=-3R R第二章 习题解答2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。

解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理SD dS •⎰=Q ，及D E ε=得，错误!未找到引用源。

r ≤a 时，由SD dS •⎰=224433Qr a ππ⨯，得34QrD aπ=304QrE aπε=错误!未找到引用源。

r>a 时，由SD dS •⎰=Q ，得34QrD r π=304QrE r πε=2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a<b ），内外导体间为空气。

设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求： 错误!未找到引用源。

空间各处的电场强度；错误!未找到引用源。

两导体间的电压；错误!未找到引用源。

要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？解：错误!未找到引用源。

以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理SD dS •⎰=q及D E ε=得，当0<r<b 时，由SD dS •⎰=q=0，得D =0，E =0当a ≤r ≤b 时，由SD dS •⎰=q,得D r l π⨯2⨯=1S ρa l π⨯2⨯D =1Sr e rρ，10S r aE e rρε=当b<r 时，由SD dS •⎰=q,得D r l π⨯2⨯=1S ρa l π⨯2⨯+2S ρb l π⨯2⨯D =12s s r a be rρρ+，E =120s s r a be rρρε+错误!未找到引用源。

11ab 00ln bbs s aaa a aE dr dr r bρρεε∅===⎰⎰错误!未找到引用源。

要使ρ>0的区域外电场强度为0，即：E =120s s r a b e rρρε+=0，得1S ρ=2s ba ρ-2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4()r r E a a=，计算： 错误!未找到引用源。

球内电荷分布；错误!未找到引用源。

球的外表面的电荷分布； 错误!未找到引用源。

球壳的电位； 错误!未找到引用源。

球心的电位。

解：错误!未找到引用源。

由0vE ρε∇=，得304r aερ6= 错误!未找到引用源。

r E e E =00s r r e D e E ρεε=•=•=错误!未找到引用源。

由高斯定理SD dS •⎰=24r D π=q当r ≥a 时，q=2Q ，Q=204a πε222r Qa r ϕπε==错误!未找到引用源。

02aa Edl a ϕ==-⎰r a ϕϕϕ=+=2-2a2.17一个有两层介质（1ε，2ε）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为1σ和2σ，电容器极板的面积为S 。

当外加压力为U 时，求： 错误!未找到引用源。

电容器的电场强度；错误!未找到引用源。

两种介质分界面上表面的自由电荷密度； 错误!未找到引用源。

电容器的漏电导；错误!未找到引用源。

当满足参数是1221σεσε=，问G/C=?(C 为电容器电容) 解：错误!未找到引用源。

由11221n 2n E D E D ,J J U +==，得212112U E d d σσσ=+，122112UE d d σσσ=+错误!未找到引用源。

两介质分界面的法线由1指向2由2211s E E εερ-=，得s ρ=212112U d d εσσσ+122112Ud d εσσσ-+错误!未找到引用源。

由11IJ E Sσ==，知1I S σ=22112Ud d σσσ+G=I U =122112S d d σσσσ+错误!未找到引用源。

1D S Q C U U ===122112S d d εσσσ+ G/C=11σε 3.1设一点电荷q 与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。

求： （1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷q 所受的力。

12012333333021212112220(1)(,,)(,,)11()44[()()()]4(2)z=0,2(x y z r x y z d r x y z d q r r q E q x x y y z d z d a a a r r r r r r r r qdE x y d φπεπεφπεπε=-=+=-=-=-∇+-=--+-+-===-++在导体平面上有则32203222222200).2()(3)()4(2)16zs z za qda E x y d q q q F a d dρεππεπε==-++-==-由库仑定律得3.6两无限大接地平行板电极，距离为d ，电位分别为0和0U ，板间充满电荷密度为0xd ρ的电荷，如题3.6图所示。