复合函数的单调性的证明
例1、已知函数)(x f y =与)(x g y =的定义域都是R ，值域分别是()+∞,0与()0,∞-，在R 上)(x f 是增函数而)(x g 是减函数，求证:)()()(x g x f x F ⋅=在R 上为减函数.
分析：证明的依据应是减函数的定义.
证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，
则)()()()()()(221121x g x f x g x f x F x F -=-
)()()()()()()()(22212111x g x f x g x f x g x f x g x f -+-= [][])()()()()()(212211x f x f x g x g x g x f -+-=
)(x f 是R 上的增函数，)(x g 是R 上的减函数，且21x x <.
∴)()(21x f x f <，)()(21x g x g >即0)()(21<-x f x f ，0)()(21>-x g x g . 又)(x f 的值域为()+∞,0，)(x g 的值域为()0,∞-，0)(,0)(21<>∴x g x f . ∴0)()(21>-x F x F 即)()(21x F x F >
∴)(x F 在R 上为减函数.
小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在)()(21x F x F -的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出)(1x f 与)(2x f 的差和)(1x g 与)(2x g 的差.。