例题：求证
x 已知函数 f ( x) ax ln x ， (a 0且为常数） e 求证：方程 f ( x) 0 没有实数根.
2
1、变式构造函数 g ( x) h( x) 2、若能证 g ( x)max h( x)min 则 g ( x) h( x) 成立. 成立；
3、不等式得证.
法一：用不等式两边
“作差”构造辅助函数
法二：变形不等式，转换为求两个函数的 最值
例题：求证
1、变式构造函数 g ( x) h( x) 2、若能证 g ( x)max h( x)min 则 g ( x) h( x) 成立. 成立；
法二：变形不等式，转换为求两个函数的 最值
极大值
(1, )
↘
f ( x ) f ( x)
由上表得 f ( x)max f (1) 1 0
f ( x) f ( x)max 0
即ln x x.
例题（课本第32页习题1.3 B式:
（1）sin x x, x (0, )
证明： 设 f(x)＝x－sinx，则 f′(x)＝1－cosx > 0 ∴f(x)＝x－sinx是增函数 ∴f(x)> f(0)＝0 ∴f(x)>0 即 x－sinx>0 即x>sinx． 方法：移项作差，构造函数，然后用导数证明 该函数的单调性；再利自变量越大，函数值 越大（或小），来证明不等式成立.
利用函数的单调性，证明下列不等式:
x ln x x e ,x 0 （4 ）
解: 设f ( x) ln x x 1 f ( x) 1 令 f ( x) 0 ,解得x=1. x 当x变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表: x (0,1) + ↗ 1 0
1.3.4利用函数的单调性 证明不等式
例题（课本第32页习题1.3 B 组第1题）
1.利用函数的单调性，证明下列不等式: （1）sin x x, x (0, )
2 x x 0, x (0,1) （2）
（3） e x 1, x 0
x
x ln x x e ,x 0 （4）
2 x x 0, x (0,1) （2）
求证g ( x) h( x)
xD
一般步骤： 1、构造函数 f ( x) g ( x) h( x) 2、判断f ( x) 的单调性或求最值
（3） e x 1, x 0
x
（4） ln x x e , x 0
x
f ( x) f ( x)max 0 或f ( x) f ( x)max 0