湖南省长沙市一中、雅礼中学 2009届高三联考试卷文科数学命题人：长沙市一中高三文科数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•将正确答案的代号填入答卷的表格中）1. 设全集为U.集合M U P=U ,则下列关系一定正确的是（ B ）A . P G MB . P (C MC . p n M =2. 设a , b € R ,则a > b 的充分不必要条件是(B ) A. a 3> b 3B. Iog 2(a — b) >0C. a 2> b 2D.-- a b3 n 3 n3. 函数 y sin(x ) cos(x ) (A )4 4a 76. 已知｛a n ｝为等差数列，若—a 6正值时，n=A. 10B. 11C. 127. 如右图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量x 轴正半轴的夹角分别为 丄和丸，向量OC 满足OA OB3 6 OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是（D ）n n 5 n n 2 nD .C UM n G P =UA. 周期为 n 的偶函数C. 周期2 n 的奇函数 4. 设a , b , c 表示三条不冋直线，立的是 (D)A. b ,c 是a 在内的射影，若B. b ,c ，若 c II ，贝 U b //C. c ± , 若c 丄，贝U //D. b，若b 丄，贝U 丄 5.在x € 1 2 [—,2]上，函数 f(x) x 22B.周期为n 的奇函数 D.周期为2 n 的偶函数 ,表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成 b 丄c ,贝U b 丄ac3x 3px q 与g （x ） 3X —在同一点取得相同的最小2 2xA. 1, 3B. 2, 0C. — 2 , 4D. — 2, 01，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当 S n 取得最小值，那么p 、q 的值分别为（C ）A. （0, 一）B. （ , ）C. （ , ）D.3 3 6 2 38. 某舞步每一节共六步，其中动作A两步，动作B两步，动作C两步，同一种动作不定相邻•则这种舞步一共有多少种不同的变化( B)A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 180 种9. 已知抛物线x 2py(p 0)的焦点为F, P是抛物线上不同于顶点的任一点，过点P作抛物线的切线I交x轴于点Q，则PQ FQ ( C)A. —2pB. —pC. 0D. p10. 设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a, b]上的两个函数，若对于任意的x€ [a, b],都有| f(x) - g(x)| w 1，则称f(x)与g(x)在[a, b]上是“密切函数” ，[a, b]称为“密切区间”.设f(x)=x2 3x 4与g(x) 2x 3在区间[a, b]上是“密切函数”，则它的密切区间可以是 (B)A. [1 , 4]B. [2, 3]C. [3, 4]D. [2, 4]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11. 若(x3-^)n的展开式只有第6项的系数最大，则n的值为10 .xx 2y 612. 设0为坐标原点，A(1,1),若点B(x, y)满足2x y 3 0,则OA OB取得最小值x y 3是 3 .13•如右图所示，各棱长均为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为21 n .14. 指数函数y a和对数函数y=log a x(a>0, a丰1)的图象分别为G、C2,点M在曲线G上，线段OM (O为坐标原点)交曲线C于另一点N.若曲线C2上存在一点P,使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的2倍，则点P的横坐标为 4 .2 2 _________________________________________________________15. 已知动点p(x, y)在椭圆——1上，若A点坐标为(3, 0), | AM |=1，且25 16PM AM 0 ,则| PM |的最小值是.3 .答题卡题号12345678910答案B B A D C B D B C B步骤)16. (本小题满分12分)n n已知函数f(x) cos2x.sin (2x ) sin (2x )3 3(1) 求函数的最小正周期;(2) 将函数f(x)的图象沿向量m =(竺,2)平移得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单8调递减区间解：(1) f(x) 2sin2xcos n cos2x sin 2x cos2x2 sin(2x n )3 分3 42 n.•f(x)的最小正周期 T= — n ;6分 2(2)将函数 f(x)沿向量 m=( 3n ,2)得到函数 g(x) 2sin[2(x 汀 n ] 2. 2 sin2x884<—7 或 2<a <3①又T 1 € B ,•••Iog 2(a 2) 2log 2 (a 1)由①②知2 <a <3，即a 的取值集合 M=[2 , 3]. 18. (本小题满分12分)如右图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与CDO 的交线为CD, 线段CD 为圆O 的弦，A 在平面CDO 的射影是圆上并异于 C D 的点E, 且 AE= 3 .2(1) 求证：平面 ABCD 丄平面 ADE ; (2) 求二面角 A — CD- E 的大小； (3) 求凸多面体ABCDE 的体积.解：(1 )证明：由已知 AE 丄面CDO, CD 面CDO,所以CD 丄AE. 又 CD 丄AD , AD Q AE=A , 故CD 丄平面 ADE, CD 面ABCD.+2.当2k nnn<2x <2k n即 k n22nn<x <k n (k € Z)时，函数g(x)单调递减, 44‘代 Z ).故所求区间为[k n n, k n 417.(本小题满分12分)a 2 11 x------------- 4和 Iog 2(a 1 x) 2log 2(a x) 2 的解集分别为 A已知关于x 的不等式和 B ,且 2€ C A , 1 € B , 求实数 a 的取值范围.12分解：•.•2 € C RA ,a 13<—4 或 a — 2=0 a 2―7^-a ―3) WO 或 a — 2=0(a+7)(a — 3)(a — 2)<010分12分故平面ABCD丄平面ADE; 4分(2)由(1)知CD丄AD, CD丄ED,故/ADE为二面角A—CD—E的平面角. 6分AE 1 n在Rt^DE 中，sin Z ADE= , 4DE=—,AD 2 6n故平面ABCD与平面CDE所成角的平面角的大小为一. 8分6久巧(3)凸多面体ABCDE为四棱锥E- ABCD, V E-ABCD= . 12分419. (本小题满分13分)已知a、b均为正整数，等差数列｛a n｝的首项为a，公差为b;等比数列｛b n｝的首项为b, 公比为a，且1 < a v b, b2< a3.在数列｛a n｝和数列｛b n｝中各存在一项a m与b n,使得a m+仁b n,an 14 ] b2n 1乂C n= log 23 3(1)求a、b的值；(2)求数列G｝中的最小项，并说明理由.解: (1)由b2a3,得ab a2b.1分T1 a b, •ab3b，则 1 a 3.3分又a为正整数，a=2.4分• a m 1 b n ,■. 2 (m1)b 1 b 2n1••b 131 '6分2n 1 m••b € N*, 2n 1m 1 1故b=3.8分(2)v a n 2(n 1) 33n1, b2n 1 3 22n, 10分3n 152n3 2 5 2 25--C n log 2 -(n5) 2n2(n )33 2 2•••当n=2或n=3时，c n取得最小值，最小值为一12. 12分20. (本小题满分13分)函数f(x) x bx cx( 1 b c)，其图象在点A(1,f(1))、B(m,f(m))处的切线斜率 3分别为0、1.(1 )求证：—1 < b< 0;••Q(1,0)为双曲线的右顶点，即 a=1. 3分(2)若x > k 时，恒有f (x) 1，求k 的最小值. 解：(1 )依题意，f (1)1 2b c 0, f (m)m 2 2bm c 1.1 分—1 v b v — 4v — 1+2b+c v 4c ,「.c > 0.1将 c=1 — 2b 代入—1v b v c,得一1 v b v .3 分3将 c 1 2b 代入—m 2+2bm+c=1，得—m 2+2bm — 2b=0. 由 A=4b 2 — 8b >0,得 b<0 或 b >2. 5 分 综上所述，—1v bw0.6分2(2)由 f (x) 1，得 x 2bx 2b 0. •••X 2 2bx 2b 0,8 分易知g(b)=— (2x — 2)b+x 2为关于b 的一次函数. 9分依题意，不等式g(b) > 0对—1 v b <0恒成立,(2)设A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，R 是直线x=l 上异于点(-,0)的任意一点,3 3若直线AR, BR 与双曲线分别交于点 M 、N ,试判断点A 与以MN 为直径的圆的位置关系， 并证明你的结论.则 | PD|=| PE , | F 1D|=| F 1Q| , | F 2E|=| F 2Q|.•••| PF 1| — | P 巨1=2 a , • F 1Q| — | F 2Q|=2a ,2 设双曲线話2y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1、巨，P是双曲线右支上一点, b 2••k 》、3 — 1,即卩k 的最小值为 3 — 1. 21.(本小题满分13分)△ PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点Q(1,0)，且|F 1Q|=4.(1)求双曲线的方程；g(0) x 2 g(1) x 20, 2x 2得 x <— . 3 — 1 或 3 — 1. 0,12分13分解：(1 )设厶PF |F 2的内切圆与 PF 1、PD 的切点分别为 D 、E ,又|F i Q|=a+c=4,「.c=3,贝U b 2=c 2— a 2=8.2x -— 1.82 2又点N 在双曲线上，• y o8x o 8.2——12 12x o ••• AN AR o3(x o 1) ••x o 》1,.・.ANAR v 0,「./RAN 为钝角.故点A 在以MN 为直径的圆的外部(2)设 1R(3，t)(t0)、N(x o , y o ),由 B 、N 三点共线，得RB BN ,2 即(-3 t ) =(xoi, y o )于是(x o 1) 解得t 2y o 3(xo•/ AN (x o U ，则 R(3， 4(3，3(xi,y o ), AP ••• ANAR ”)y2y 0t.3 3( x o 1) 2y o ). ), 2y - 3(x o 1)4x - 飞X 。