高三一轮专题复习--------数列
一、知识网络
二、重难点突破
热门知识点01 求数列的最大项、最小项
求数列的最小项或最大项的方法：
（1）利用作差比较法或作商比较法判断出数列的单调性，进而找出数列的最小项或最大项．
（2）令或，解不等式组，找出数列的最小项或最大项．
典例一：已知数列{an}中，an＝n•（）n+1，求此数列的最大项的项数．
【解答】解：假设数列的最大项的项数为an，
则满足，
则，
即，
解得，
即，
即n＝4，
故数列的最大项的项数为4．
典例二：已知数列的通项公式an，求该数列的最大项．
【解答】解：an，
当x＞0时，函数y＝x在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
∴当n＝4时，4，
当n＝5时，5， ∴当n＝4时，n最小，此时an最大，
即最大项为a4
热门知识点02 由Sn与an间的关系求an
（1）已知求
由前项和求通项公式的主要步骤有四部：①令确定；②由确定；③检验②中时的结果是否等于；④写出通项公式（若③中符合，则合着写；若不符，则分段写）．
（2）已知与之间的关系求
解决此类问题通常有两种途径：①由关系式消去建立与或之间的关系求；②由关系式消去建立与或之间的关系求，进而求．
典例一：已知数列{an}的前n项和Sn＝3+2n，求an．
【解答】解：a1＝S1＝3+2＝5，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝（3+2n）﹣（3+2n﹣1）＝2n﹣1，
当n＝1时，2n﹣1＝1≠a1，
∴．
典例二：数列的前n项的和Sn＝2n2+n+1，求数列的通项公式．
【解答】解：当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2+n+1﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝4n﹣1；，
而a1＝S1＝4不适合上式，
所以．
热门知识点03 利用等差数列的性质解题
对于等差数列的运算问题，可观察已知项和所求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质求解． 典例一：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a8+a12＝12，则S13＝（ ）
A．104 B．78 C．52 D．39
【解答】解：因为已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a8+a12＝3a1+18d＝3a7＝12，故a7＝4，所以S1313a7＝13×4＝52．
故选：C．
典例二：在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15＝36，则S16＝（ ）
A．288 B．144 C．572 D．72
【解答】解：a2+a5+a12+a15＝2（a2+a15）＝36，
∴a1+a16＝a2+a15＝18，
∴S168×18＝144，
故选：B．
热门知识点04 求数列{|an|}前n项和的方法
给出数列，要求数列的前项和，关键是分清取什么值时．
一般地，如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有：
（1）若，则由
（2）若，则由
典例一：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝35，a2a4＝45．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
由S7＝35，a2a4＝45，
得，
解得，
∴an＝11+（n﹣1）×（﹣2）＝13﹣2n． （2）由an＝13﹣2n＞0，得n，
∴当n≤6时，an＞0，
此时Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|＝a1+a2+…+an
12n﹣n2，
当n＞6 时，an＜0，
此时Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|＝a1+a2+…+a6﹣（a7+a8+…+an）
＝2（a1+a2+…+a6）﹣（a1+a2+…+a6+a7+…+an）
＝2×（12×6﹣62）﹣（12n﹣n2）＝n2﹣12n+72，
∴Tn．
典例二：等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝﹣5，S7＝﹣49．
（1）求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
（2）求数列{|an|}的前24项和T24．
【解答】解：（1）由题得，，
∴an＝﹣13+2（n﹣1）＝2n﹣15，
Snn（n﹣14）．
（2）当1≤n≤7时，an＜0，当n＞8时，an＞0．
S7＝7×（7﹣14）＝﹣49，S24＝24×（24﹣14）＝240．
∴T24＝﹣S7+（S24﹣S7）＝S24﹣2S7＝338．
热门知识点05 等比数列前n项和公式与性质的应用
利用等比数列的前项和公式解题，属同行通法；利用性质解题，方法灵活，技巧性强，有时能使计算简便．
等比数列前项和的性质：
①项的个数的“奇偶”性质：等比数列中，公比为，
a．若共有项，则； b．若共有项，则．
②“片断和”性质：等比数列中，公比为，则个连续项的和（和不为0），
构成公比为的等比数列．
典例一：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝54，则数列{an}的公比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：依题意可得q≠1，
∵S36，S654，
∴1+q3＝9，
∴q＝2，
故选：C．
典例二：已知数列{an}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝（ ）
A．13 B．48 C．78 D．156
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，满足a3a11＝6a7，
∴6a7，
解得a7＝6
∵数列{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，
∴b7＝a7＝6，
∴S1313b7＝13×6＝78．
故选：C．
热门知识点06 数列求和的常用方法
（1）公式法求和
①直接用等差、等比数列的求和公式．
②掌握一些常见的数列的前项和公式． ．
．
．
．
（2）倒序相加法求和
如果一个数列中，与首、末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的．
（3）错位相减法求和
错位相减法求和适用于型数列，其中分别是等差数列和等比数列．
（4）裂项相消法求和
利用裂项消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等．
常见的拆项公式有：
①若是等差数列，则，．
②．
③．
④．
⑤．
⑥．
⑦．
（5）分组转化法求和
数列求和应从通项入手．有的数列，从通项上看，既不是等差数列，也不是等比数列，但将数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，对这列数列求和，应先拆开，然后分别求和，再将其合并即可．
（6）并项求和法
对一些特殊的数列来说，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前项和时，可将这些项放在一起先求和，再求整体的和．
典例一：已知函数（x∈R）的所有正数的零点构成递增数列{an}（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为，
所以由题意有，
这就是函数f（x）的全部零点．
又由已知函数f（x）的所有正数的零点构成递增数列{an}，
所以{an}是以为首项，1为公差的等差数列，
所以an＝n；
（2）n•（）n，
则前n项和Tn＝1•（）1+2•（）2+…+n•（）n，
Tn＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，
相减可得Tn＝（）+（）2+…+（）n﹣n•（）n
n•（）n，
化简可得Tn＝2﹣（n+2）•（）n．
典例二：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn＝log3an+1，{bn}的前n项和为Tn，求的值．
【解答】解：（1）a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）． 可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，n≥2，
相减可得an+1＝3an，
则数列{an}为首项为1，公比为3的等比数列，
可得an＝3n﹣1；
（2）bn＝log3an+1＝log33n＝n，
前n项和为Tnn（n+1），
2（），
可得2（1）
＝2（1）．
热门知识点07 数列的应用
数列在实际生活中的应用非常广泛，因此，数列的实际应用问题也在历年高考中占有重要的位置．
（1）解答数列应用题的基本步骤：
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意．
②建模：将一直条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，分清涉及的数列的是等差数列还是等比数列，是求通项还是求前项和．
③求解：求出该问题的数学解．
④换元：将所求结果还原到实际问题中．
（2）数列应用问题的常见模型：
①等差模型：一般地，如果后一个量与前一个量的差是印个固定的具体量，该模型是等差模型，这个固定量就是公差．其一般形式是（常数）．
②等比模型：一般地，如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数（一般为百分数），该
模型是等比模型，如增长率问题，利率问题，分期付款问题．
③混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．
④递推数列模型：如果容易找到数列任意一项与它的前一项或前几项间的递