2. 3.1 平面向量基本定理
教学目标：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a
方向相反；λ=0时λa
=
2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ
2使
a
=λ11e +λ22e .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被
a
，1e ，2e 唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .
例2 如图
ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a
，
=b ，用a ，b
表示，，和
例3已知
ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O
是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.
（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且
(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.
四、课堂练习：见教材 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、教学反思
2.3.1平面向量的基本定理
课前预习学案
一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 二、预习内容 （一）复习回顾
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向 ；λ<0时λa 与a
方向 ；λ=0时λa
=
2．运算定律
结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b
)= .
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，
使 .
(二)阅读教材,提出疑惑:
如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?
课内探究学案
一、学习目标 1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点：
1. 教学重点：平面向量基本定理
2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用 二、学习过程 （一）定理探究：
平面向量基本定理：
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ; (2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）例题讲解
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .
例2、如图
ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b
表示MA ，
，MC 和
例3已知
ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：
OA +OB +OC +OD =4OE
例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.
（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.
（三）反思总结
课后练习与提高
1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)
2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3
B.-3
C.0
D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).。