《平面向量基本定理》教学教案
----新余一中蒋小林
一、背景分析
1．教材分析
函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。

本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。

通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。

本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。

2．学情分析
从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。

从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。

教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．
二.学习目标
1）知识与技能目标
1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2）过程与方法目标
1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培
养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3）情感、态度与价值观目标
1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，
发展学生的数学应用意识；
2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活
动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

[设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现
了培养学生核心素养的要求．
三．教学过程设计
教学过程
1．创设问题、引出新课
（一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。

（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。

总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。

[设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。

体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。

2.问题驱动、探究新知
问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。

[设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示
某个向量，为向量的线性表示打下基础．
问题（2）以向量为平行四边形的一条对角线，做平行四边形，这样的四边形唯一吗？
[设计意图]：通过平行四边形说明同一个向量表示的不唯一性，即多种表示方法。

问题（3）已知向量
a e e ,,21，仍以为平行四边形的对角线，且平行相邻边所在直线平行于,,21e e 这样的平行四边形唯一吗？
[设计意图]：在,,21e e 确定的情况下，由向量共线定理说
明表示的唯一性，即平行四边形的确定性
通过三个问题，课件展示给学生，使学生亲身感受利用已学知识在处理问题时的作用，引起学生的思考，为定理的形成奠定基础。

问题 4 ：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，那么用 21,e e 如何表示？尝试做出你的想法。

[设计意图]：通过前三个问题的设置和解决，引申出一个向量如何用其它向量来表示的问题，目的通过学生的“观察、分析 、归纳 、概括”培养学生抽象思维的能力，形成定理的的图像表述。

3.思考交流、构建概念
将图形语言转化为文字语言得到基本定理：
如果21,e e 是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平
面内的任一向量a ，存在一对实数21,λλ ，使2211e e a λλ+=，其中把不
共线的向量21,e e ， 叫向量 a 的一组基底。

4.定理点拨、加深理解
请同学们勾画出概念中的关键词，并思考几个问题． ① 21,e e 满足什么条件才能做基底
② 基底21,e e 是否具有可选择性
③ 定理中实数21,λλ是否唯一
④ 平面向量基本定理的实质是什么？
教师点拨。

引导学生深入理解定理。

5.例题练习、巩固新知
请选择合适的基底表示出MN 向量。

（学生先思考、计算，板演，师生共同完成） [设计意图]:
一方面加深学生对平面向量基本
定理的理解。

理解平面内基底选择的不唯一性。

另一方面为向量的几何应用打下基础。

以此培养
学生观察问题、分析问题的能力．
意图：本例题的设置意在让学生体会到数学来源于生活，服务于生活。

体验到数学在解决实际问题中的应用，发展学生的数学应用意识。

练习：
2、若 ________,,0212211===+λλλλ则e e
3、如图，在平行四边形ABCD 中E 、F 分别是线段BC 、DC 的中点，已知b AD a AB ==, 试用向量b a ,表示DE BF ,
例1、如图，已知梯形ABCD ，AB//CD ，且AB=2DC,M,N
分别是DC,AB 的中点.
M A C D A B D E F
6．归纳小结、深化认知
本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？
(1)通过定理，学习平面内任一向量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合,体验了由特殊到一般的归纳概括能力的要求。

(2)通过定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辩证统一思想，有序实数对),(21λλ与向量a 一一对应思想体现数学的简洁美，为后继课程学习打下了基础。

设计意图：选派小组代表归纳总结，让学生体会知识的收获感和获得的成就感，体现课堂的价值。

7、布置作业、巩固提高
作业：【必做题】课本87页第1、2、5、6题。

【选作题】用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

[设计意图]：分层次要求，分层次作业，其中必做题针对所有学生基础，学有余力的学生作选做题，体现分层教学。