2．3．1平面向量基本定理（教学设计）
[教学目标] 一、知识与能力：
1．掌握平面向量基本定理；
2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、过程与方法：
体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λb
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.
二、师生互动，新课讲解：
思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2
的向量表示呢？.
在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.
1． 平面向量基本定理
（1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
a=λ1e 1+λ2e 2.
把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角， 当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .
例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。

解： 1212122;;
e e e e e e +-【变式训练1】如图，已知向量，，求作下列向量: (1) 3 (2)4
2.ABCD M,AB a AD b a b MA MB MC MD ==例如图，的两条对角线相交于点且，，你能用，表示，，和吗？
【变式训练2】如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →
＝b ，试以a 、b 为基底
表示DE →、BF →.
【互动探究】
在本例中，若取AC →＝x ，DB →＝y 作为基底，试用x ，y 表示DE →，BF →
.
例3.已知A, B 是l 上任意两点，O 是l 外一点，求证：对直线l 上任一点P ，存在实数t ，使 OP 关于基底
{OA ，OB }的分解式为OP 1)t OA tOB =
-+（。

【变式训练3】已知 ,a b 不共线，且12c a b λλ=+ （12,R λλ∈），若b //c ，则1λ= .
三、课堂小结，巩固反思： 1． 平面向量基本定理； 四、课时必记：
1、平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得功a=λ1e 1+λ2e 2.把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 五、【课时作业】 一、选择题
1.设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A.e 1＋e 2和e 1－e 2
B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2
C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
D.e 1和e 1＋e 2
答案 B
解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，
∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底.
2.如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
等于( )
A.1
2
(5e 1＋3e 2)
B.1
2
(5e 1－3e 2)
C.1
2(3e 2－5e 1)
D.1
2
(5e 2－3e 1) 答案 A
解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝1
2
(5e 1＋3e 2).
3.如图所示，用向量e 1，e 2，表示向量a －b 等于( )
A.－4e 1－2e 2
B.－2e 1－4e 2
C.e 1－3e 2
D.3e 1－e 2
答案 C
解析 如图，由向量的减法得：
a －
b ＝AB →
.
由向量的加法得：AB →
＝e 1－3e 2.
4.已知向量e 1与e 2共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( ) A.3 B.－3 C.0
D.2
答案 A
5.在等边三角形ABC 中，G 为三角形重心，则GA →与AB →
的夹角等于( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案 D
解析 正三角形“四心”合一，由向量夹角定义易知，GA →与AB →
的夹角为150°. 6.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →
等于( ) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b
D.11＋λa ＋λ1＋λ
b 答案 D
解析 ∵P 1P →＝λPP 2→
，
∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →
＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λ
b .
7.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，则3r ＋s 的值为( )
A.16
5 B.12
5 C.85
D.45
答案 C
解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，
∴r ＝45，s ＝－4
5.
∴3r ＋s ＝125－45＝85.
二、填空题
8.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填“共线”或“不共线”).
答案 不共线 不共线
解析 ∵e 1，e 2不共线，λ1＞0，λ2＞0， ∴a 与e 1，e 2都不共线.
9.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.
10.e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，用b ，c 为基底表示向量a ＝__________. 答案 －118b ＋727
c
解析 设a ＝λb ＋μc ，－e 1＋3e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＋μ(－3e 1＋12e 2)＝(4λ－3μ)e 1＋(2λ＋12μ)e 2.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4λ－3μ＝－1，2λ＋12μ＝3，得⎩⎨⎧
λ＝－118
，
μ＝727.
∴a ＝－118b ＋727c .
三、解答题
11.(1)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM
→
与HF →.
(2)如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →与QS →
.
解 (1)∵平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，
∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →
＝AD →＋12AB →
＝b ＋12a ，
HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →
＝a ＋13b －12b ＝a －16
b .
(2)∵平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →
＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →
＝3e 2－2e 1. S 是OQ ，PR 的中点， ∴PS →＝12PR →＝3
2e 2－e 1，
QS →
＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.。