习题88-1．如图所示，金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。

当圆环以恒定速度v在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律i d dtεΦ=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势0i ε=； （2）利用：()aab bv B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】8-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。

不计线圈自感，若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

首先用0lB dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B rμπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：00ln22x axI I l x al dr r xμμππ++Φ=⋅=⎰， 由i d Nd t εΦ=-，有：011()2i N I l d xx a x dtμεπ=--⋅+ ∴当x d =时，有：041.92102()i N I l a v V d a μεπ-==⨯+。

解法二：利用动生电动势公式解决。

由0lB dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B rμπ=， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=， 则：12εεε=-=00411() 1.921022()N I N I al v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。

8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I 的电流，长为l 的金属棒ab 与长直导线共面且垂直于导线放置，其a 端离导线为d ，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势ε并比较U a 、U b 的电势大小。

解法一：利用动生电动势公式解决：()d v B dl ε=⨯⋅02I v d r rμπ=⋅，∴02d ldv I dr rμεπ+=-⎰0ln 2v I d l d μπ+=-，由右手定则判定：U a >U b 。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。

作辅助线，形成闭合回路''abb a ，如图，S B d S Φ=⋅⎰ 02d l d I y drrμπ+=⎰0ln 2I y d l d μπ+=， ∴d dt εΦ=-00ln ln22I Iv d l d y d l d dt dμμππ++=-⋅=-。

由右手定则判定：U a >U b 。

8-4．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。

求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 222R AOR Iv I v v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰，500225()ln 224R OBR Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰ ，∴05ln 22AB AO OB Iv μεεεπ=+=-。

解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为θ，那么，00022(2cos )2(2cos )I I I B x R R R μμμππθπθ===--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030sin 2(2cos )IRv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰05ln 22Iv μπ=-。

AOBAOBθ8-5．有一长直螺线管，每米有800匝，在管内中心放置一绕有30圈的半径为1cm 的圆形小回路，在1/100s 时间内，螺线管中产生5A 的电流，问小回路中的感应电动势为多少？ 解：长直螺线管内部的磁场为： 1101I n B μ= 由题意：A/s 500100/151==dt dI 穿过小回路的磁通量为： 2122S B N m =Φ 小回路中的感应电动势为：V1074.4500103080010434712210---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==Φ=ππμεdtdIS N n dt d m8-6．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按0sin B B t ω=的规律变化。

已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ，rad/s 50=ω，Ω=10R ，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d Ba a a B t dt dtεπππωωΦ=-=--⋅+=， ∴203cos ia B t I R Rεπωω== A πR ωB a πI 32202max1042.910501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

8-7．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为μ 的介质中， 已知：0sin I I t ω=，其中ω、0I 是大于零的常量，求：与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。

解：首先用0lB dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B xμπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：0000ln sin ln222d adI I l I l d a d al dr t r d dμμμωπππ+++Φ=⋅==⎰， ∴00cos ln 2N I l d d aN t dt dμεωωπΦ+=-=-。

8-8．如图所示，半径为a 的长直螺线管中，有0d d >tB的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA ，总电阻为R ，上底为a ，下底为a 2，求：（1）AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2）B 、C 两点间的电势差C B U U -。

解：（1）首先考虑OAD ∆，212OAD S a ∆==，∴24OAD d dB dBS a d t d t d tε∆Φ=-=-⋅=-⋅感1， 而DA lAOODADDAE d l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡涡涡涡涡感1∴2AD d Bd tε=⋅； 再考虑OBC ∆，有效面积为2123OAD S a π=⋅扇，∴26dBa d tπε=-⋅感2， 同理可得：26BC dBa d tπε=⋅；那么，梯形闭合回路的感应电动势为：2(64BC AD dBa d tπεεε=-=-⋅，逆时针方向。

（2）由图可知，AB CD a ==，所以，梯形各边每段a 上有电阻5Rr =，回路中的电流：2(64a d BI R R d tεπ==-⋅，逆时针方向；那么，2225B C BC BC dBU U I r I R a dtεε-=⋅-=⋅-=-⋅。

8-9．在长为60cm 、直径为5.0cm 的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为36.010H -⨯的线圈？解：设需绕N 匝线圈，当通以电流I 时，通过螺线管线圈的磁通量为IS l N IS l N N NBS m 200μμ===Φ由自感的定义可得：S l N I L m 20μ=Φ= 因此有： 匝1209025.01046.0106)(2/12732/10≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯==--ππμS Ll N8-10．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝，求此螺绕环的自感。

解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：012()2N I B R r R rμπ=<<则SB d S Φ=⋅⎰⎰，有：210201ln22R R N I h R N Ih dr r R μμππΦ=⋅⋅=⎰利用自感定义式：L I ψ=，有：L =2021ln 2N h R R μπ。

8-11．一圆形线圈A 由50匝细导线绕成，其面积为4cm 2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm 的圆形线圈B 的中心，两线圈同轴。

设线圈B 中的电流在线圈A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。

求： （1）两线圈的互感；（2）当线圈B 中的电流以50A/s 的变化率减小时，线圈A 中的感生电动势的大小。

解：设B 中通有电流I ，则在A 处产生的磁感应强度为：002242B B B B BN I N I B R R R μμππ=⋅=（1）A 中的磁通链为：02A B A A A A BN N IN BS S R μψ==⋅。

则：02A B AABBN N S M I R μψ==，∴7476410501004102010 6.281020.2M H ππ----⨯⋅⋅⋅⨯==⨯=⨯⋅。

（2）∵0646.281050 3.14102A B A A B N N S d d IV d t R dtμψ--=⋅=⨯⋅=⨯,∴43.1410A V ε-=⨯。

8-12．一矩形线圈长l =20cm ，宽b =10cm ，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计，求图(a)(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。

解：设直导线通以电流I 1。

图(a)情况下，通过矩形线圈的磁通量为：2ln 2210221022πμπμlI N ldx x I N bb m ==Φ⎰ 由互感的定义，线圈与长直导线间的互感为：H 108.22ln 22.01041002ln 2670212--⨯=⨯⨯⨯==Φ=πππμl N I M m图(b)情况下，通过矩形线圈左右两半面积的磁通量相互抵消，总磁通量为0，因此线圈与长直导线间的互感也为0。

8-13．一个螺线管的自感为10mH ，通过线圈的电流为4A ，求它所储存的磁能。

解：螺线管的磁能为J 08.04102121222=⨯⨯==-LI W m8-14．假定从地面到海拔6610⨯m 的范围内，地磁场为40.510T -⨯，试粗略计算在这区域内地磁场的总磁能。

解：磁场能量密度为 022μB w m =此区域内地磁场的总磁能为[][]J 107104.6)64.6(3102105.0)(3421818337823302⨯≈⨯-+⨯⨯⨯=-+==--e e m m R h R B V w W πμ8-15．在一对巨大的圆形极板（电容121.010F -=⨯C ）上，加上频率为50Hz ，峰值为51.7410⨯V 的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。