3 3 2 i 3 2 2 i j
（1）
I1 =
】! ，
i=1
I2 =
， H!!（V i 一 j ）
i
（6）
green 应变张量 E 定义为 E = 式中"ij 代表 Kronecker 符号 . 为了研究物体的相对变形， 设以物体 : 时刻的状态作参考构形， 质点 XK 在 : 时刻的位 ， 在# 时刻的位置为 x （ ， 于是相对于 : 时刻的变形梯度可表示为 置为 x（ :） #） i XK ， j XK ， x（ : ） ）= a i （ ） （ F（ F -1 = Fi， : # K # i， K :） ax j 或 （ ） （ :） F F #）= F（ : # 其中 F （ :） （ X， （2） 中的变形梯度 . =ax :） / aX 即式 按照定义， 右和左 Cauchy-green 变形张量可表示为
第23卷 第3期 2002年 9 月
固体力学学报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA
VoI . 23 No . 3 September 2002
多孔硅橡胶有限变形的粘弹性行为
刘占芳 励凌峰 胡文军
!
（重庆大学工程力学系， 重庆， 绵阳， 400044） （中国工程物理研究院结构力学研究所， 621900）
函数可以表示为 （! （ S） ， t - S） #W' cS （ t S 0 # - ） 式中 W' （! （ S） ， 是与应变和时间相关的变形能耗散函数， 它可以写为 t - S） ^［ ! （! （ S） ， （ t - S） （ S） ］ W W' t - S ）= # 其中 # （ t） 可以选择三参数的松弛函数 （ t ）= W' （! （ t） ， W 0）+
!
引言 橡胶类材料具有许多很好的力学特性， 能够缓和冲击、 耐摩、 减振等， 它广泛用于重要设
备的防护及结构内部的填充等 . 硅橡胶是一种比重小、 成孔容易的多孔可压橡胶材料， 由于 其良好的力学特性， 近年来已被工业和国防建设所采用， 具有巨大的应用前景 . 因此， 研究此 类橡胶材料的非线性变形和粘弹性行为显得相当重要 . 关于材料在有限变形下的非线性粘弹性行为已引起了人们的强烈兴趣 . 有关这方面的
t
"
（12）
（13） （14） 时 （15）
（ t ）= # ［ e- t/$0 + #r ］ 0 （1 - #r ） # 这里的$0 表征松弛时间， 从上式可知当 t $ #0 是初始时刻即 t = 0 时的剪切模量， （ ） /#0 #r = # （14） 、 代入式 （12） ， 时间相关的能量密度函数可以表示为 把式 （13） ^［ ! （ t ）= # （0） （ t） ］+ W W 式中 （ t - S） ［! （ S） ］ cS W # "
［4， 5］ 为 . 另外， 引入拟时间概念来研究变形对松弛模量的影响也引起了研究者的兴趣 . Knauss
和 Emri 等基于聚合物粘弹性理论， 假设时间标量与自由体积分数有关， Wineman 和 WaIdron 提出了材料的特征时间在非线性粘弹性中与剪切变形有关 . 虽然有关这方面的问题已有较 多的讨论， 但目前尚无统一的理论 . 并且文献中很少涉及由于多孔而导致的可压缩橡胶材料 力学行为的讨论 . 针对多孔硅橡胶的特定应用， 从建立描述材料粘弹性特征的松弛函数和变形特征的应 变能函数出发， 提出适合多孔隙、 可压硅橡胶材料的本构关系 . 松弛函数和应变能函数可解
［4， 5］ 引入拟时间 （也称内时） 的概念来表 两种不同的变形机制对材料变形性能的影响 . 首先，
征材料特征时间， 拟时间可以定义为 （ t ）=
t 0
（ x） ］ "［ !
cx
（23）
式中 （ ! ） 是应变张量不变量的标量函数， 为了分别考察多孔硅橡胶材料的体积变形和等 容变形对应力松弛的影响， 认为 （ ! ） 与体积变形和等容变形相关， 可以被描述为 1 1 B （ ! ）- ! 2 . 303 ! 0 式中 ! 且! （ !） 可以分别表示为 0 是材料的初始体积分数， 对于等容变形部分 log （ ! ）= （ ! ）= ! （ K ）= ! ! 0 + 对于体积变形部分 （ ! ）= ! （ ）= ! （26） -1 ! 0 + 其中 K 、 是控制等容变形和体积变形对时间影响的常数 . 把式 （25） 、 （26） 代入 （24） 可得标 量函数 （ K ） 和 （ ） 借助式 （23） 即拟时间刻画对变形的影响， 式 （16） 又可以写为 . 因此， t ^［ ! （ S） ］ W ^［ ! （ t ）= （0） （ t） ］+ ' ［ （ t ）- （ S ） ］ （27） W W cS ［ （ ） ］ ! S 0
［1 ~ 5］ 研究在近期有了显著的发展 . 对于非线性粘弹性本构问题， OIdroyd 发展了非线性积分记
忆理论， 论述了本构关系应满足标价无关原理； TruesdeII 用公理化体系建立物质的数学模 型， 概括和表述了一般简单材料的非线性本构关系 . Green 和 RivIin 在此基础上综述非线性 记忆材料应力松弛的数学结构， 导出了描述非线性粘弹性行为的多重积分表达式， 形成 Green-RivIin 理论 . 随后， Pipkin、 Lockett、 FindIey、 Wineman、 Drozdov 等许多学者具体表达了若干 粘弹性非线性本构关系的多重积分表述因材料函数依赖 非线性粘弹性本构关系 . 目前看来， 于多个与时间有关的变量而显得相当复杂， 不易由实验确定核函数 . 即使做一些简化， 在解 决边值问题时仍引起冗烦的计算， 因此， 应采用单积分型本构关系来研究材料的粘弹性行
(
)
（21）
・ 350 ・ ^ !W （ + i t ）= （0）（ i t） !（ i t）
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t 0
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"
-
0 （ 10
r
^ （ t - S） / 0 !W ）（ ec S ， i = 1， 2， 3 i S） !（ i S） （22）
式 （20） （22） 反映了粘弹性材料在有限变形下的应力松弛 . ~ ! 变形对应力松弛的影响 多孔硅橡胶由不可压的硅橡胶基体和基体间的孔隙构成， 硅橡胶基体表现为等容变形， 体积改变则来自孔隙的消长， 因此， 需将变形解耦为体积变形和等容变形， 分别考察材料内
-1 0 r 0 1 -1 0 t -1 T #W#（ （ t） # t） #!
（19）
#0
（ t - S） / $0
cS
（20）
其中 ^ ^ ^ ^ W W W W a0 = 2 j I2 # + I3 # ， a1 = 2 j # ， a -1 = 2 jI 3 # I I #1 #3 #I 1 #I 2 ^ 当应变能密度函数取 W （ 时， Cauchy 应力张量的主应力表示为 !1 ， !2 ， !3 ）
（99030416） 资助 . ! 中国工程物理研究院科学技术基金 2001-02-13 收到第 1 稿， 2001-12-10 收到修改稿 .
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2002 年 第 23 卷
耦为等容和体积变形两部分， 并引入拟时间的概念来反映变形对材料特征时间的影响 . 多孔 硅橡胶的单轴松弛压缩实验验证了所建立的材料模型 . 限于材料的特定尺寸 （厚度仅为 和实际使用工况， 只验证单轴压缩而未考察其它的复杂加载情况 . 0.65 mm） 有限变形的几何描述 ! 任意的弹性体， 在外力的作用下连续地改变其位形， 对于固定的时刻 : ， 质点由初试构 形 B 0 到现时构形 B: 的运动轨迹可用描述为 （ X， x = x :） 式 （1） 表示了质点在现时构形 B: 的位置可由初始构形 B0 的位置和时间 : 来描写 . 变形梯度张量 F 定义为 x （2） F =a aX 它描述了从 X 到 x 物体形状的变化 . 对于任何 det F 一0 的张量 F ， 可通过极分解把变形梯 度 F 分解为 （3） F = RU = VR 式中 R 为正交张量， 代表纯转动； 代表纯粹的变形 . 在有限变形情 U 和 V 为对称正定张量， 况下， 通常用右和左 Cauchy-green 变形张量 C 和 B 来描述物体的变形 （4） C = FT F， B = FF T 并且， 张量 U 和 V 的特征值!i 是相一致的， 单元体在 !i 被称作主方向线元的伸长比 . 因此， 变形过程中体积的变化可由变形梯度 F 的 Jacobi 行列式 ] 表示为 d u = ] d V . 而且右和左 Cauchy-green 变形张量 C 和 B 的主不变量可以定义为 1 2 ［ I - tr （ C2 ） ］ ， （ C） （5） I 3 = ] 2 = det 2 1 变形张量 C 和 B 的特征值分别可表示为相应的伸长比的平方， 即!2i ， 所以 C 或 B 的不变量 （ C） ， I 1 = tr I2 = 可由!i 表示为
T ）= F（ ） ） ， C（ F（ : # : # : # T ）= F（ ） ） B（ F（ : # : # : #
1 1 （ C - I） （ Cij - "ij ） 匀 Eij = 2 2
（7）
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刘占芳等： 多孔硅橡胶有限变形的粘弹性行为
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所以主方向线元伸长比可表达为时间相关的函数!i =! （ . i t） ! 粘弹性响应的本构关系 对于橡胶类材料， 描述其弹性或粘弹性力学行为的本构关系通常可用能量函数来表达， 把能量函数表示为 Simo 把小应变的粘弹性理论推广到有限变形， 0 （ Eij ， （ Eij ， 0ij ）= "（ Eij ）- " ! 0ij ） "