第一章 质点运动学一. 选择题:［C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动．(E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米，222l h x =+，22dl dxlxdt dt=， 22dx l dlx h dl dt x dtx dt +==，0dlv dt=-，可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ．(C) 0． (D) -2 m ．(E)-5 m.【提示】 4.50sx vdt =⎰，质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和：［B ］3、（自测提高3）质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为(A) 2πR /T , 2πR/T ．(B) 0 , 2πR /T (C) 0 , 0． (D) 2πR /T , 0. 【提示】平均速度大小：0rv t ∆==∆平均速率：2s R v t T∆==∆π（注意定义式及符号的规范）［C ］4、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是(A) 0221v v +=kt , (B) 0221v v +-=kt ,(C)02121v v +=kt , (D) 02121v v +-=kt 【提示】t k t 2d /d v v -=，分离变量并积分，020v tv dv ktdt v =-⎰⎰，得02121v v +=kt .xoxlhx Mh 1h2o x x m［B ］5、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为(A) 2i ＋2j ． (B) -2i ＋2j ．(C)－2i －2j ．(D) 2i －2j． 【提示】B A 对v =B 对v 地+A 对v 地=B 对v 地-A 对v 地=2222 (/)j i i j m s -=-+. （速度变换式是矢量式，应加上矢量符号） 二. 填空题1、[基础训练8]质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为223t +=θ(SI)，则ｔ时刻质点的法向加速度分量为a n =216 () Rt SI ；角加速度β=2 4 (/) rad s 。

【提示】（1）4d t dtθω==，法向加速度分量为2216 ()n a R R t SI ω== （2）角加速度24 (/)d rad s dtωβ==. 2、[基础训练9]灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度为112M h vv i h h =-．【提示】坐标系如图，设人的坐标为x ，头的影子坐标为x M ，人向x 轴正向运动。

由相似三角形的比例关系，得： 3、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是__4.19（m ），这段时间内的平均速度大小为34.1310(/) m s -⨯，方向是__与x 轴正方向逆时针成600．【提示】24S 2R 4.19(m)33ππ=⨯==路程 03r 2cos3033v 4.1310(/)S t 400vm s π-∆⨯====⨯∆平均速度大小；方向如图。

4、[自测提高13]一质点在Oxy 平面内运动．运动学方程为=x 2 t 和=y 19-2t 2 (SI)，则在第2秒内质点的平均速度大小v =6.32 m/s ，2秒末的瞬时速度大小=2v 8.25m/s. 【提示】（1）t 1 = 1s 时，m y m x 17,211==；t 2 = 2s ，m y m x 11,422==212121212 /; 6 /x y x x y y v m s v m s t t t t --====---；vy xOP平均速度大小22 6.32 (/)x y v v v m s =+=。

（2）2秒末：2222 /; 48 /x y t s t s t sdx dyv m s v t m s dt dt =======-=-；速度大小为2228.25 (/)x y v v v m s =+=5、[自测提高14 ]小船从岸边A 点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t 1到达对岸下游C 点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B 点，则需与A 、B 两点联成的直线成α角逆流划行，经过时间t 2到达B 点．若B 、C 两点间距为S ，则(1)此河宽度l =22221 t t -；(2) α =()112 cos / t t -或222112sin t t -⎢⎥⎣⎦-。

【提示】设小船速度为v ，水流速度为u ，如图。

（1）保持与河岸垂直向前划时，1 l vt =……①；1S ut =……②；（2）成α角逆流划行时，()2cos l v t α=……③；sin u v α=……④.联立①和③得：()()11212cos /, cos /t t t t αα-=∴=；联立②和④，可求出()()112212sin 1cos 1S t S t u v t t αα===-⎛⎫- ⎪⎝⎭再代入①得：22221l t t=-.三．计算题1、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2– 2 t 3(SI) ．试求：(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程． 解：（1）t 1=1s 时，x 1=2.5m ； t 2=2s 时，x 2=2m ；21212 2.50.5 (/)21x x x x v m s t t t -∆-====-∆--，0.5 (/)v i m s =-BSC l(1)垂直前划 (2) 成α角逆流划vv uuαA A（2）),69(2t t dtdx v x -==)/(6 ),/( 6 2s m i v s m v s t x -=-==时，（3）令0)69(2=-=t t v x ， 得：' 1.5t s =.此时 3.375m x ='第二秒内的路程()()m ....x'x x x's 2522375352375321=-+-=-+-=2、[基础训练18 ]物体作斜抛运动，初速度1020-⋅=s m v 与水平方向成45o角，求：(1)在最高点处的切向加速度、法向加速度；(2) 在2=t 秒时的切向加速度、法向加速度。

解：设重力加速度g =10m/s 2（1）最高点：0==∴=t n na g a e g a（2）)/(1021045sin ,/21045cos 0000s m t gt v v s m v v y x -=-=== 解法二：t=2s 时，210=x v m/s ，()221045sin 00-=-=gt v v y m/s ，arctan22.5y xv v θ==︒，如图，2sin 22.5 3.83 /t a g m s =⋅︒=，3、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角ϕ保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。

解：tan ,n t a a ϕ= 将t dva dt=，2n v a R =代入，得2tan dv v dt R ϕ=， 分离变量并积分：4、[基础训练20 ]当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35 m/s 的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．解：根据伽利略速度变换式： v v v =+雨地雨地对对车车对，作图。

由正弦定理sin 45sin 75=雨地地v v 对车对，解得： 25.6=雨地v 对(m/s)5、[自测提高15 ]质点按照212s bt ct =-的规律沿半径为R 的圆周运动，其中s 是质点 ya nga txθv 雨对车v 地车对v雨地对045运动的路程，b 、c 是常量，并且b 2>cR 。

问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？ 解：212s bt ct =-，ds v b ct dt==-， 切向加速度大小t dvc c dt ==-=，法向加速度大小2n v a R=； 当切向加速度与法向加速度大小相等时：2v c R=，v cR =，即b ct cR -=得12 , b cR b cRt t c c+== 附加题：[ 自测提高16 ]一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T ．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v ．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少． 解：如图，设风对地v kvj =，正方形边长为L ，根据+风对地机对地机对风v v v =求解。

（1）A →B ，()222221风对地机对地机对风v v v v kv v k =-=-=-22141AB L t v v k k ∴===--机对地；（2）B →C ，()1机对地v v kv k v =-=-，()()141BC L L Tt v v k k ∴===--机对地；（3）C →D 的飞行时间与A →B 的飞行时间相等，CD AB t t =； （4）D →A ，()1机对地v v kv k v =+=+所以，有恒定小风时飞行周期为'AB BC CD DA T t t t t =+++， 与无风时相比，周期增加了'T T T ∆=-。

根据上述计算结果，可得【因为1k <<21k-和211k -展开，并保留AB风对地v 机对风v到2k项，得22213112224T k TT k k⎡⎤∆≈+++-≈⎢⎥⎣⎦】（【】中的内容可以不写）。