4.5 s
【答】由定义式，可以得到 x

0
vdt ，所以，质点在 x 轴上的位
置即为这段时间内 v-t 曲线下的面积的代数和：
x (1 2.5) 2 2 (2 1) 1 2 2( m )
［ A
2 1 O 1
2.5 4.5 1 2 3 4
t(s)
］2、[基础训练 5] 一条河在某一段直线岸边同侧有 A、B 两个码头，相距 1 km。甲、乙两人需要




50( sin 5t i cos 5t j )
(m/s)
；其切向加速度的大小 at =
0
；该质点运动的轨
迹是 圆 ． 【答】从定义式出发。
dr （ 1） v 50( sin 5t i cos 5t j ) dt
2 2
(m/s) ； dv 0 dt
-0.5g
，轨道的曲率半径
2 3 v2 3 g
.（重力加速
v0
0
at g sin 30 0.5 g ,
an g cos 30
0
v2

v2 g cos 300
at
A
an
g
30°
（注意切向加速度前面的负号） 8、[基础训练 12] 一质点沿直线运动,其运动学方程为 x = 6 t－t2 (SI)，则在 t 由 0 至 4s 的时间间隔内， 质 点的位移大小为 8 ( m ) ，在 t 由 0 到 4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10 ( m ) ． 【答】 （1）x = 6 t－t2 （2）令 v x (SI)，位移大小 r x4 x0 6 4 4
又因 a n g cos ，且 an
2 v0 cos 2 cos 2
v2
因为 , 所以地面上方的轨道各点均有 cos cos ，上式的分母在 处最小，在 0 处最大， 故
2 max v 0 / g cos
2 2 2 v cos v 0 an g cos 3
v雨对地 v雨对车 v车对地 ，作图。
v 雨对地 sin 45
0
v 雨对车 vr
45 v r0
45 °
由正弦定理 解得：

v 车对地 sin 75

，
vr
30 °
v v 雨 a 对地
v 雨对地 25.6 (m/s)
v t v车对 地
v vr r
2 设 d 500m， 2 n rad / s， 30 ； 60
由 x d tan ， 得： v
o
d
x
dx dx d d 200 d sec 2 69.8m / s 2 dt d dt cos 9
11、[自测提高 11]一质点从 O 点出发以匀速率 1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为 1 m，如图所 示．当它走过 2/3 圆周时，走过的路程是__4.19（m） ，这段时间内的平均速度大小为 4.13 10 ( m / s ) 方向是__与 x 轴正方向逆时针成 600．
1
第一章 质点运动学作业答案
严非男
［ B ］ 4、 （自测提高 3）质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 T 秒转一圈．在 2T 时间间隔中， 其 平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2R/T , 2R/T． (B) 0 , 2R/T (C) 0 , 0． (D) 2R/T , 0. 【答】 （从定义式出发）
y
P O
v
x
(SI) ．试求：
t2=2s 时，x2=2m ；
vx
x x2 x1 2 2.5 0.5 (m / s ) ， v 0.5i (m / s ) t t2 t1 2 1
3
第一章 质点运动学作业答案
严非男
（2） v x
dx (9t 6t 2 ), dt
4
第一章 质点运动学作业答案
严非男
16、[自测提高 15 ] 如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动．转动的角速度 与 时间 t 的函数关系为 kt 2 (k 为常量)．已知 t 2 s 时，质点 P 的速度值为 32 m/s．试求 t 1 s 时，质 点 P 的速度与加速度的大小． 解： （注意加速度、切向加速度和法向加速度的区别） 。 根据已知条件确定常量 k
［ B ］6、[自测提高 7]在相对地面静止的坐标系内，A、B 二船都以 2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿 x 轴 正向，B 船沿 y 轴正向．今在 A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y 方向单位矢用 i 、 j 表示)， 那么在 A 船上的坐标系中，B 船的速度（以 m/s 为单位）为 (A) 2 i ＋2 j ． 【答】 vB对A
（2）速率 v 50 ( sin 5t ) (cos 5t ) 50 m / s ，切向加速度 at
2 2
（3） x 10cos 5 t ， y 10 sin 5 t ，联立消去 t，得 x y 100 ，所以轨迹为一个圆。
10、[自测提高 8] 距河岸(看成直线)500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 n =1 r/min 转动．当 光束与岸边成 60°角时，光束沿岸边移动的速度 v = 69.8 m/s . 【答】如图，设 t 时刻光束在岸边的位置坐标为 x
1 1 2 ( h) ； 4 2 4 2 3
1 1 1 ( h) ；∴ t t甲 t乙 ( h) 10 (min) 4 2 6
乙： t乙 t A B t B A 2t A B 2
［ C ］3、[自测提高 1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船 向岸边运动．设该人以匀速率 v 0 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (C) 变加速运动． (B) 匀减速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动．
从码头 A 到码头 B，再立即由 B 返回。甲划船前去，船相对河水的速度为 4 km/h；而乙沿岸步行，步行速 度也为 4 km/h．如河水流速为 2 km/h, 方向从 A 到 B，则 (A) 甲比乙晚 10 分钟回到 A． (B) 甲和乙同时回到 A． (C) 甲比乙早 10 分钟回到 A． (D) 甲比乙早 2 分钟回到 A． 【答】根据伽利略速度变换，得到甲相对岸的速率分别为 6 km/h 和 2 km/h； 甲： t甲 t A B t B A


2
0 8
(m ) ；
dx 6 2t 0 ，得：t=3s，此时质点开始反向运动。 dt
所以，路程= x3 x0 x3 x4 10 ( m )
2
第一章 质点运动学作业答案
严非男
9、[基础训练 13]在 xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为： r 10 cos 5 t i 10 sin 5 t j （SI） ，则 t 时刻其速度 v
，故该点
v0
P

θ
v
，
2 min v 0 cos 2 / g
14、[基础训练 19 ]质点沿半径为 R 的圆周运动，加速度与速度的夹角 保持不变，求该质点的速度随时间 而变化的规律，已知初速为 v 0 。 解： （尊重已知条件，没有的信息不可自行添加。 ）
tan
an , at




(B) 2 i ＋2 j ．


(C) －2 i －2 j ．


(D) 2 i －2 j ．



= vB对地 + v地对A = vB对地 - vA对地 = 2 j 2i 2i 2 j (m / s) .








（速度变换式是矢量式，应加上矢量符号，并注意下标的规律） 二. 填空题 7、[基础训练 10] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道 A 点处速度 v 的大小为 v，其方向与水平方 向夹角成 30°，则物体在 A 点的切向加速度 at = 度为 g） 【答】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得
将 at
v
v2 dv v2 dv ， an 代入，得 ， R dt R tan dt
t
dv dt 分离变量并积分： 2 , v R tan v0 0
v R tan 1 1 t v 0 v v0 R tan R tan v0 t
15、[基础训练 20 ] 当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为 30°，当火车以 35 m/s 的速 率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为 45°，假设雨滴相对于地的速度保持不变，试 计算雨滴相对地的速度大小． 解：根据伽利略速度变换式：
t 2 s时， v x 6 ( m / s ),
v 6i ( m / s )
（3） （计算路程时，请注意有没有反向运动。 ） 令 v x ( 9t 6t ) 0 ，
2
得： t ' 1.5s .
此时 x 3.375m
第二秒内的路程 s x' x 1 x 2 x' 3 .375 2 .5 3 .375 2 2 .25 m
3
，
2 4 4.19(m) 【答】 路程S 2 R 3 3 r 2 cos300 3 3 平均速度大小 v 4.13 103 ( m / s ) ；方向如图。 S t 400 v