有趣的造桥选址问题
江苏 刘东升
有一道有趣的造桥选址问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解．我们一起关注：
问题：如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处才能使从
A 到
B 的路径AMNB 最短（假设河两岸1l 、2l 平行,桥MN 与河岸垂直,A 到1l 的
距离大于河宽.）
图1 图2
方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB 最短”实际是就是“AM +BN ”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“AM +BN ”最短呢如果不是中间有条河隔着，直接连接AB 就可以了！由于河两岸平行,故桥长MN 是一个定值,无论桥架在何处,MN 是必经路线,要使从A 到B 的折线最短,只需AM+BN 最短即可.为此我们不妨将桥MN 平移到A A '处,且M 与A 重合,则N 与A '重合,由平移性质知AM=N A '.由“两点之间,线段最短”的性质知,要使AM+BN 最短(即N A '+BN 最短),只要点N 在线段B A '上即可．为了更为清楚图4
1l 2l
A
B C
A '
M N
的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．
图2的操作步骤是，过点A作AC⊥1l于点C，在线段AC上截取A A'=桥长，然后连接B
A'交2l于点N，最后过点N作MN⊥1l于点M.则MN即为所求的架设桥的地点.
很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“AM+BN”最短距离为A`N+BN（也就是点A`到点B之间的线段最短），从而实现了问题的求解．解后反思：这个问题有着非好的实际背景，情境贴近生活实际．从上面的求解方法来看，平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到平移的其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．从这点上说，同学们是值得认真体会和积累的．。