《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数》知识点
表达式：y=kx （心0的常数）
图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1,
说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kX'；性质特
征：
1、图像经过的象限：
k>0时，直线过原点，在一、三象限；
k<0时，直线过原点，在二、四象限；
增减性及图像走向：
k>0时，y随x增大而增大
k<0时，y随x增大而减小
，直线从左往右由高降低;
，直线从左往右由低升高;
1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;
2、y 与x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工0）;
3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;
4、y + a 与x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工0）;
《一次函数》知识点
表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）
注意：（1）k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；
（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
四
、
成正比例关系的几种表达形式：
的直线;
2、
、图像:
一次函数y=kx+b （k丰0, b丰0）的图像是：一条经过（」,0）和
k （0, b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k工0, b工0）的图像也叫做“直线
y=kx+b” ;
（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-丄，0）；
k
直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.
三、性质特征：
1、图像经过的象限：
（1）、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限；
（2）、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限；
（3）、k < 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；
（4）、k < 0, b < 0时，直线经过二、三、四象限；
b/0
2、增减性及图像走向:
k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；
k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；
3、一次函数y=kx+b （k工0, b工0）中“ k和b的作用”：
（1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向
k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;
k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;
（2）I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度
I k I越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大;
I k I 越小，直线越平缓，直线越远离 y 轴，与x 轴的夹角越小；
(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置
b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；
b <0时，直线与y 轴负半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的下方)；
(4) k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限
四、 直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到
当b>0时，将直线y=kx :向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ;
当b < 0时，将直线y=kx :向下平移I b I 个单位得到直线y=kx+b ;
五、 两条直线平行和垂直： 直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d
(1)当a=c ， b M d 时，直线m//直线n,反之也成立；
例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。
(2)当ac=-1时，直线ml 直线n 。
反之也成立；
例如：直线y= - x+2与直线y=-2x+3互相垂直
六、直线y=kx+b 与坐标轴围成的三角形的面积公式：S= 21k 七、求一次函数解析式的方法：求函数解析式的方法主要有三种
(1) 由已知函数推导或推证；
(2) 由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写 出
函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系；
(3) 用待定系数法求函数解析式：
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学 问
题，通过引入一些待定的系数，转化为方程(组)来解决，题目的已知恒等式 中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程， 本单元构
造方程一般有下列几种情况:
② 利用一次函数y=kx+b 中常数项b 恰为函数图象与y 轴交点的纵坐标，即 由
b 2
①利用一次函数的定义
b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程。
八、例题举例：
例1 •已知y_，其中.=(k - 0 的常数)，I与：成正比例，
工
求证：y与x也成正比例。
证明：—与二成正比例，
设I］二a-- ■■- (a工0的常数)，
£
••• y=/1 = (k 工0 的常数),
x
k )
二y=_ • a =akx,
x
其中ak M0的常数，
••• y与x也成正比例。
例2.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴
上，求此直线解析式。
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与
y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。
例y=2x,y=2x+3
的图象平行。
解：T y=kx+b 与y=5-4x 平行，
•k=-4,
T y=kx+b 与y=-3(x-6)=-3x+18 相交于y 轴，
•b=18，
•y=-4x+18。
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由
b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象
方向定k，由与y轴交点定b o。