导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. Ps ：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x ）的导数y ＇=f ＇（x ）仍然是x 的函数，则y ＇=f ＇（x ）的导数叫做函数y=f （x ）的二阶导数。

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 3. 导数的几何意义：就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx xx x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')(a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.单调性及最值 1答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.2答案 B 解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3. 3答案 D 4答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1 由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.5答案 C 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.6答案 C 解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.7答案 B 解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.8答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合9答案 ①④ 10答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 11答案 [－2，＋∞) 解析 由h ′(x )＝2＋kx 2≥0，得k ≥－2x 2，由于－2x 2在[1，＋∞)的最大值为－2，于是，实数k 的取值围是[－2，＋∞)．12解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.13答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}． 14答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．15答案 C 解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C. 16答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]几何意义1.解析s′＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→018(t＋Δt)2－18t2Δt＝limΔt→014tΔt＋18(Δt)2Δt＝limΔt→0(14t＋18Δt)＝14t.∴当t＝2时，s′＝12. 答案 C2.解析由2x＋y＋1＝0，得h′(a)＝－2<0.∴h′(a)<0.3.解析limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－k. 答案－k4.解∵f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－14.∴所求的直线方程为y－2＝－14(x－1)，即x＋4y－9＝0.6.解析f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a.令2a＝2，∴a＝1. A。