导数知识点总结
考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
知识要点：
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量
)
()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到
x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0
|'x x y =，即)(0'x f =
x x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 注：
①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =
的定义域为B ，则A 与B 关系为
B A ⊇.
2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim
0000
00
x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→
).
()(0)()(lim lim )
()(lim )]()()([
lim 000'0000000000
x f x f x f x f x
x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x
x x
y ∆∆=∆∆||，
当x ∆＞0时，1=∆∆x
y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故
x y
x ∆∆→∆0lim
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）
)0(2'''
≠-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛v v u v vu v u 注：
①v u ,必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设x
x x f 2sin 2)(+=，x
x x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，
但它们和=+)()(x g x f
x x cos sin +在0=x 处均可导.
5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果
)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在
),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即
x =0时f （x ） = 0，同
样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是
)('x f =0
①
. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极
值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==
，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.
'=C （
C
为常数） x x cos )(sin '=
2
'11)(arcsin x
x -=
1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-=
2
'11)(arccos x
x --
=
II.
x
x 1)(ln '=
e x
x a a log 1
)(log '=
1
1)(arctan 2'+=
x x
x x e e =')( a a a x x ln )('=
1
1)cot (2'+-
=x x arc
III. 求导的常见方法： ①常用结论：x
x 1|)|(ln '=.
②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=
两边同取自然对
数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为
x x y ln ln =，
对两边求导可得x x x x x y y x y y x
x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1
ln '''.。