第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛第2试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。

1. 实数d c b a ,,,满足：○1d c b a +=+；○2c b d a +<+；○3d c <，则d c b a ,,,的大小关系是（ ） （A ）b d c a <<< （B ）a d c b <<< （C ）b a d c <<<（D ）a b d c <<<2.下列等式中不恒成立的是（ ） (A)bba ab a b b a a b a +∙+=+++ (B)1111+∙+=+-+b ba ab b a a （C ）11222-∙=-+a aa a a a（D ）)()(3333b a a ba b a a b a -++=-++ 3.一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（ ） （A ）4.2或4.4（B ）4.4或4.6 （C ）4.2或4.6 （D ）4.2或4.4或4.64.化简：=--+7474（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）25.Put 8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. How many different ways to put the balls?( ) (A)6(B)12(C)18(D)36(英汉词典：identical 完全相同)6.如图1，在平面直角坐标系内，A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A 、B 、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限7.如图2，设点A 、B 是反比例函数xky =图象上的两点，AC 、BD 都垂直于y 轴，垂足分别是C 、D 。

连接OA 、OB ，若OA 交BD 于点E ，且OBF ∆的面积是2011，则梯形AEDC 的面积是（ ） （A ）2009 （B ）2010（C ）2011（D ）20128.如图3，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值是（ ） （A ）4.6（B ）4.8（C ）5（D ）79.设b a ,是实数，且a b b a -=+-+11111，则ba ab +++++1111的值是（ ） （A ）3（B ）-3（C ）)(3a b -（D ）无法确定的10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有 （ ） （A ）798个（B ）898个（C ）900个（D ）998个二、填空题（每小题4分，共40分）11.若0≠a ，计算：=÷÷a a a2011201212.若以x 为未知数的方程122-=++x ax 的根是负数，则实数a 的取值范围是 13.若)0(≠n n 是以x 为未知数的方程052=--n mx x 的根，则m-n 的值是 14.正整数b a ,满足等式531513ba +=，那么=a ，=b 15.已知)10(61<<=+x x x ，则xx 1-的值是16.已知点A （4，m ），B （-1，n ）在反比例函数xy 8=的图象上，直线AB 与x 轴交于C ，如果点D 在y 轴上，且DA=DC ，则点D 的坐标是17.如图4，等腰直角ABC ∆中，90=∠A ，底边BC 的长为10，点D 在BC 上，从D 作BC 的垂线交AC 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则DE ＋DF 的值是18.如图5，在边长为6的菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，并且点E 是AB 的中点， 点F 在线段AC 上运动，则EF+FB 的最小值是 ，最大值是19.若实数c b a ,,满足5,4,3=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，则cabc ab abc++的值是 20.Suppose 321abc M = is a 6-digit number, c b a ,, are three different 1-digit numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is(英汉词典：multiple 倍数)三、解答题每题都要写出推算过程 21.（本题满分10分）如图6，直线)0(≠+=b b x y 交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线xy 2=于点D ，从点D 分别作两坐标轴的垂线DC 、DE ，垂足分别为C 、E ，连接BC 、OD 。

（1） 求证：AD 平分CDE ∠。

（2） 对任意的实数)0(≠b b ，求证：AD ·BD 为定值。

（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。

22.（本题满分15分）如图7，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。

（1）若汽车的行驶速度是30m/s，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？（2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s，求汽车的行驶速度。

（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？参考答案一、选择题二、填空题三、解答题21.（1）因为A 、B 是直线)0(≠+=b b x y 和坐标轴的交点，所 由⎩⎨⎧=+=0y b x y 及⎩⎨⎧=+=0x bx y得A （-b,0）,B(0,b) 所以45=∠=∠OAB DAC又DC ⊥x 轴，DE ⊥y 轴 所以∠CDE=90因此45=∠ADC即AD 平分CDE ∠（2）由（1）知ACD ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，所以DE BD CD AD 2,2==，4222=⨯=∙=∙DE CD BD AD即BD AD ∙为定值。

（3）若存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形，则 AO=AC ，OB=CD由（1）知AO=BO ，AC=CD 。

并且B （0，b ） 所以得D （-2b,-b ） 因为1,22±=-=-b bb （正数舍去） 即存在直线AB ：y=x-1，使得四边形OBCD 为平行四边形。

22.（1）如图1，设经过ts 后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5. 所以，经过5s 后司机听到回声。

（2）设汽车的行驶速度是1v ，声音传播的速度是2v ，汽车两次鸣笛的时间间隔是1t ∆；汽车第一次鸣笛1t 时间后，司机第一次听到回声；汽车第二次鸣笛2t 时间后，司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为s . 如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有⎩⎨⎧+=∆-+=2221111211)(22t v t v t v s t v t v s 两式相减，得))((2212111t t v v t v -+=∆即2111212v v t v t t +∆=-司机两次听到回声的时间间隔是121122111212)(t v v v v t t t t t t t ∆+-=--∆=-+∆=∆代入数据，得5.4340340411⨯+-=v v解得s m v /201=如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得2111212v v t v t t +∆=-司机两次听到回声的时间间隔是121211212)(t v v v v t t t t ∆+-=∆--=∆代入数据，得5.4340340411⨯+-=v v解得s m v /57801= 这样的速度不切合实际。

所以，汽车的行驶速度是20m/s23.设甲生产一个产品所用的时间为t ，则乙生产一个产品所用的时间为56t。

用[a]表示不大于a 的最大整数，{a}=a-[a],如[3.14]=3,{3.14}=0.14甲生产k 个产品所用的时间为kt ，此时乙生产了⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6556k t kt 个产品由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以31650<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<k而⎭⎬⎫⎩⎨⎧65k 可能取值是,0,65,32,21,31,61（见下表）从表中可以看出，满足31650<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<k 的最小的k 的值是5， 因此，乙至少已经生产了⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯655=4个产品。