“希望杯”全国数学邀请赛试卷集锦第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试一、选择题、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么（ ）（）0,0,0><<c b a （）0,0,0<>>c b a（）0,0,0>><c b a （）0,0,0>>>c b a、某种菌类生长很快，长度每天增长倍，在天中长成M ，那么长成41M 要（ ） （）411天 （）天 （）天 （）天 、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(221x f x f -的值等于（ ）（） （）21 （） （）2log a、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是（ ）（）︒<θ<︒ （）︒<θ<︒ （）︒<θ≤︒ （）︒≤θ≤︒、、、、分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为（ ）（）⊃⊃⊃（）⊃⊃⊃（）⊂⊂（）⊂⊂⊆⊆、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则（ ） （）c b a << （）a c b << （）b c a << （）a b c <<、)(x f 是定义域为的奇函数，方程0)(=x f 的解集为，且中有有限个元素，则（ ） （）可能是∅（）中元素的个数是偶数（）中元素的个数是奇数（）中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

、 （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（）、已知θ是第二象限的角，且2cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于（ ） （）)2cos(πθ-- （）2cos θ（）)2sec(θ- （）)2sec(θπ-、若函数||22x x y -=的图象与直线)2(-=x k y 相交于点（-，-），则与该直线交点的个数是（ ）（） （） （） （）二、填空题（组）、若23log =x ，则x 的值是 。

、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。

、直线l 与平面α所成角为︒，交点为，是α内不过点的任意一条直线，那么l 与所成角的取值范围是 。

、函数)1lg(2x y -=的单调递增区间为 。

、方程21254log 24=+-x x x 的解为 。

、函数)(x f 与x x g -=3)(的图象关于直线x y =对称，则函数)2(2x x f -的定义域为 。

、一个长方体的长、宽、高的比为∶∶，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。

、平面α⊥平面β，直线∥α，与β成︒角，直线∥β，与α成︒角，则直线与所成的角的大小为 。

、若x y x 22322=+，则22yx +的最大值为 。

、二面角βα--l 的大小为︒，l C B A ∈∈∈,,βα，且β⊥=AB AC ,4，B 点到α的距离为，则直线AC 与平面β所成的角的大小等于 。

三、填空题（组） 、若},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ⊂⊂，则a 的值是 。

、关于x 的方程)1,0(log log ≠>=a a a x x a 的解为 。

、如果51cos sin -=+αα，那么α所在的象限是 。

、函数)2sin(2)(β+=x a x f 的值域为[-，]，在区间]12,125[ππ-上是单调递减函数，则常数a 与β的值分别为 。

、函数123)(2+-+=a ax x x f 在区间[，]上的最小值为，则a 的值为 。

年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试一、选择题、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。

在正方体1C 中，与垂直的面对角线的条数是（ ）（） （） （） （） 、若函数a x x f +=2)(的反函数为5)(1-=-bx x f ，则（ ） （）7=+b a （）72=+b a （）3=-b a （）12=-b a、若02log 2log <<y x ，则（ ） （）10<<<x y （）10<<<y x （）1>>x y （）1>>y x、如图所示是一个⨯⨯的长方体，上面有⨯⨯，⨯⨯，⨯⨯的穿透的洞，剩下部分的体积为（ ）（） （） （） （）、设函数)(x f y =是周期为的偶函数，且在区间[，]内单调递减，则)5.2(),0(),1(f f f -的大小关系是（ ）（）)0()5.2()1(f f f <<- （）)5.2()0()1(f f f <<-（）)1()5.2()0(-<<f f f （）)1()0()5.2(-<<f f f、是∆所在平面外一点，且⊥平面，则在以下结论中正确的是（ ）（）∠<∠ （）∠>∠（）∠∠ （）∠与∠的大小关系不确定、在锐角三角形中，一定有（ ）（）< （）>（）> （）与的大小关系不确定、在正五棱柱1C 的侧棱上有一点，若截面与侧面1A 互相垂直，则这样的点（ ）（）一般有两个，特殊情况下仅有一个。

（）有且仅有一个（）有两个 （）有时不存在、在区间[，]上，方程x x 2332log log log log =的实根个数是（ ）（） （） （） （）无数个、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。

用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为（ ）（） （） （） （）无数个二、填空题、关于x 的方程)121(log )121(log 2+-=-+x x a ，)1,0(≠>a a 的解集为 。

、空间四边形中，，，则与所成的角的正弦值为 。

、函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=)2(2)20( )(2x x x x f x 的反函数为 。

、函数1sin sin +=x x y 的值域为 。

、若2log 3)(3++=x x f x ，则=-)30(1f 。

、若)1(log )(-=ax x f a 在区间[，）上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

、函数)(x f y =对于任意实数y x ,都满足22)]([2)()(y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则=)1998(f 。

、关于x 的方程012=+++k x kx 有两个实根，一个比大，另一个比小，则k 的取值范围是 。

、在长方体1C 中，2，，是对角线上的一个动点，是底面上的一个动点，则的最小值为 。

、三棱锥中，∠∠∠︒，为底面内的一点，∠︒，∠︒，则∠的余弦值为 。

三、解答题、已知0,,>c b a 且1,,≠c b a ，ab c a c b ==,，试比较c b a ,,的大小，并说明理由。

、∆是边长为的正三角形，⊥平面，且46，点关于平面的对称点为’，求直线’与所成角的余弦值。

答案：第一试： 3，，[︒，︒]，，),2()0,(+∞-∞ ，：，︒，94，︒，或，a 或a1，二、四，第十届“希望杯”全国数学邀请赛（第一试）一、选择题1. 已知(－)＝＋，则(＋)等于（ ）（） （）＋（）＋ （）＋ 2. 若}2log |{2x x x x -=∈，则有（ ）（）12>>x x （）x x >>12 （）x x >>21 （）21x x >> 3. 已知222)(--=-x x x f ，()＝，则(－)等于（ ）（）－－ （）― （）― （）－4. 线段、、不共面，∠＝∠＝∠＝º，＝，＝，＝，则Δ是（ ）（）等边三角形 （）不等边的等腰三角形（）直角三角形 （）钝角三角形5. 已知函数()＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥23x )x 3lg(23x x lg ，若方程()＝无实数解，则的取值范围是——（ ） （）(－∞) （）(－∞)（）(－∞23) （）(23,＋∞) 6. 若＜α＜°＜β＜°，＝(α)β＝(α)β，＝(α)β，则的大小顺序是（ ）（）＞＞ （）＞＞ （）＞＞ （）＞＞7. 函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是（ ）（）－＜＜（）＜＜（）＜＜或＜＜ （）＞且≠ 8. 函数()＝α，∈(－)∪()，若不等式()＞成立，则在α∈{－,－,－32,31,0,32}的条件下，α可以取的值的个数是（ ）（） （） （） （）9. 在矩形中，＝，＝，＜，、分别是、的中点，以为折痕把四边形折起，当∠＝º时，二面角－－的平面角的余弦值等于（ ）（） （）22b a （）22b a - （）ba - 10. 是两两异面的直线，与所成的角是3π，与、与所成的角都是α，则α的取值范围是（ ） （）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题、函数＝(－)与函数＝(－＋)的图象关于 对称。

、将函数()＝的图象向左移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标压缩到原来的21，这时所得图象的函数解读式是 。

、与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是 。

、空间四边形中，，，5，则与平面所成的角等于 。

、长、宽、高分别为3cm 、4cm 、12cm 的长方体木块1C 中，3cm ，4cm ，12cm ，若一只小虫要由点沿木块表面爬到点，最短路径的长度是 。

、已知＞，＝，则的取值范围是 。

、对于函数()＝（其中＞≠），若()－()＝，则()＋()的值等于 。

、棱长为的正方体1C 中，、分别是、1C 的中点，则点到平面的距离等于 。

、α－－β是º的二面角，二面角内一点到α,β的距离分别是，，则到棱的距离等于 。

、定义在上的函数＝()、＝(－)、＝－()、＝－(－)的图象重合，它们的值域是 。

、有两块直角三角板，一块三角板的两条直角边的长分别是，3；另一块三角板的两条直角边的长分别是3,3。

这两块三角板有两对顶点重合，且成º的二面角，则不重合的两个顶点的距离等于 。

、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππα，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2sin παα，则α等于 。

、已知集合{,－,2a}＝{－,－＋}，则实数的值等于 。

、[]表示：不大于的最大整数，则方程[＋]＝的根是 。

、已知直线垂直于平面α，直线在平面β内，那么下面四个命题：（）α∥β⇒⊥ （）α⊥β⇒∥β（）∥⇒α⊥β （）⊥⇒α∥β其中正确命题的序号是第十届“希望杯”全国数学邀请赛（第二试）一、选择题、已知：＝，：(＋)＝，则（ ）（）由可推出，但由推不出。