1 Wm A HdV 利用 H J 的关系， 2 v 由矢量恒等式 ( H A ) A H H A 0 1 1 1 1 ( H A ) d S H BdV 得 Wm V ( H A)dV VH BdV 散度定理 s V 2 2 2 2
注意互感的正负
I k 常量
通过假定磁通不变可得到相同的结果，但要麻烦得多。 当 M 本身难以求解时，直接计算能量可能更方便一些。
例2 试求两块通有电流 I 的平行 导板间的相互作用力。
解1：虚位移法
I H Ke y e y (0 x d ) a 2 I 1 2 0 bd Wm 0 H abd 2 2a
dW dWm f dg
1 n 即 d( I k k ) d( I k k ) f dg 2 k 1 k 1
电源提供能量 = 磁场能量增量 + 磁场力做功 如果磁场能量与电源能量计算比较方便，则可得到
n
(W Wm ) f g
（a）电源相连时，电流保持恒定不变
磁场能量 Wm 的计算
通常，考虑两个刚性回路之间的作用力，可以利用
1 2 1 2 Wm L1I1 L2 I 2 MI1I 2 2 2
计算磁场能量。由于回路形状不变，自感也不变，因 而如果保持电流不变，则自有能保持不变，改变的只 有互有能，从而 dWm I1I 2dM 故
M f I1I 2 g
df Idl B
f df
与洛仑兹力是一致的。 只有一个物理学，把左手定则 扔掉！ f = I l B
式中的磁场不包括导体本身电流产生的场。 洛仑兹力是最本质的；原则上，导体的受力可由上 式积分获得，但往往不实用。
③ 虚位移法
假定磁场中某个回路在磁场力的作用下发生位
移 dg ，该系统中发生的功能过程是
推广
1 n 1 n n 1 n 2 Wm Lk I k M ij I i I j I k k 2 k 1 2 i 1 j 1 2 k 1
(i j )
自有能
互有能
3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度
磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场 所在的整个空间中。
0 0
I2
I2
MI1I 2 L2 I 2 / 2
Wm A A' A'' 1 1 2 2 L1 I 1 L2 I 2 MI 1 I 2 2 2
2
i1d 11 L1i1di1 L1 I12 / 2 0 0
I1
I1
5.8 恒定磁场中的能量和电场力
5.8.1 恒定磁场中的能量
假设： • • 媒质为线性； 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；
• 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立 过程无关。 磁场能量的推导过程
1 1 1 1 2 2 Wm L1 I 1 MI1 I 2 L2 I 2 ( L1 I 1 MI 2 )I 1 ( MI1 L2 I 2 )I 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 I 1 2 I 2 I k k 2 2 2 k 1
1 2 1
自感为： L 2Wm / I 2 0l 1 ln R2
2 4 R1
5.8.3 磁场力
① 运动电荷受的磁场力——洛仑兹力
df dq(v B) dV (v B)
J BdV K BdS Idl B
② 载流导体受的磁场力——安培力
解：设作用力为F，在这个力的作用下，试棒 沿x方向移动dx，则磁场能量变化为
图3.8.5 磁路对磁导率为 试棒的作用力
F 0, 表示磁场对试棒的作用力为吸力， 即 F 是从磁导率 大的媒质指
向磁导率
1 dWm d ( B HV ) ( H 2 0 H 2 )dbdx 2 2 2 NI H d l Hd NI H L d dWm 0 2 F H db I k 常量 dx 2 0 NI 2 0 N 2 I 2 b ( ) db 0 2 d 2 d
1 n 1 dWm Ik 常量 I k d k dW 2 k 1 2 外源提供的能量，一半 Wm f 用于增加磁场能量，另 I k 常量 g 一半提供磁场力作功。
（b）电源断开时，磁链保持恒定不变
dW
k 常量
0
Wm f g
k 常量
回路磁链保持不变，无感 应电动势，电源不提供能 量，减少磁能对外作功
R2
1 1 2 W H B d V H dV 磁能为： m 2 V 0 V 2
2 R 0 R 2 I l 1 R2 2 0 H1 l 2 d H 2 l 2 d ln 0 R 2 4 4 R1
两平行导板间的磁力
Wm f d
I k 常量

0 I 2 b
2a
方向指向 d 增大，即斥力
解2：利用安培力定律
计算 A 板受的力。
df K B2 dS I 1 0 I ez (e y )dS a 2 a 两平行导板间的磁力 2 0 I 2 e x dS 只计B板产生的磁场，故半之 2a
1 1 H 2 , A , dS r 2 r 时，第一项为 0 r r
1 Wm H BdV 耳）
磁能密度
2 1 1 1 B wm H B H 2 2 2 2
3 J m 单位：
上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。
M f I1 I 2 x
I k 常量
0 n1n2 I1 I 2 a
2
方向指向 x 增 大，即吸力
当n1＝n2＝1000匝/m，I1=I2=1000A，a =0.1m ，得到
f 40000N
一个非常大的力！当电流反向时，为斥力。
例 4 试求图示磁场对磁导率为μ的试棒的作用力，试 棒的截面积为d×b。
I 1 不变， i2 从0 I 2 ，外源所做的功
d 11 ( 11 )i1dt dA1 i1dt i1d 11 dt
i1 从 0 I1 过程中，外源所做的功
A2 dA1 0 A A1
A2 I1 M 12 di2 L2i2 di2 A A1

小的方向（可与静电场的情况类比）。
作业： 5.28
i2 从 0 I 2 第二步：I1 不变，
则 t 时刻，回路1、2中的感应电动势为
22
第一步：
i1 从 0 I , i 0 2 1
d 22 , dt
12
d 12 dt
若要继续充电，外源必须克服回路的 感应电动势做功，即
则 t 时刻，回路1、2中的感应电动势为 d 11 d 21 11 , 21 dt dt 若要继续充电，外源必须克服回路的感应电 动势做功，即
d 12 I 1dt M 12 I 1di2 dt d 22 ( 22 )i2 dt dA2 i2 dt L2i2 di2 dt ( 12 )I 1dt dA1
例 1 长度为 l , 内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电
缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。
解：由安培环路定律，得
I I H1 e e 0 R1 2 2 2 R1 I H2 e R1 R2 2
同轴电缆截面
H3 0
考虑到磁通可以用磁矢位 A 表示，则磁能 Wm 可表示为
1 n 1 n 1 n Wm I k k I k A dl V A J dVk 2 k 1 k 2 k 1 2 k 1 lk
—— —— n
1 A J dV V 2
V 为导电媒质的总体积。 式中 Vk 为导电媒质体积元所占体积，
f df
0 I 2b
2a
ex
例3 试求两个穿插的螺线管之间 的相互作用力。设半径为 a ，单 位长度匝数为 n1，n2 ，电流为 I1, I2。忽略边缘效应。 解1：虚位移法 B1 0 n1I1 21 n2 x B1S 0n1n2 I1 a2 x
M 21 / I1 0n1n2 a2 x