即
三、渐入佳境
（阅读预备知识，完成相应题目）
第8题预备知识：二次函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 .
时，则 ;
时，则
8．求使得 为正整数 的所有实数 的值.
第9题预备知识：圆的切线与过切点的弦所形成的角（弦切角），
等于其所夹弧对的圆周角（如图 ）.
9．在 中， 为斜边，其内切圆分别与边 ， ， 切于 ， ， ，线段 是 的高.
11． 中， 的对边分别为 ，函数 的最小值为 ，且 是关于 的方程 的两根.
（1）求证： 是直角三角形；（2）求实数 的值；
（3）若此三角形外接圆面积为 ，求 内接正方形的边长.
12．已知点 ， ，
（1）求经过 、 、 三点的抛物线顶点 和抛物线与 轴另一交点 的坐标；
（2）若在线段 上有一动点 （不在端点），分别以点 、 为圆心， 、 为半径作圆，在⊙ 与⊙ 上各有一动点 、 ，求 的范围；
,则 ,
当 时,解 得 .综上得 .
9.解：(1)设 ， ，在 中，因为 ，
所以 ，又 ，所以
(2)由预备知识可知， 因为 ，且
所以 ，即
（3）由（2）知 ，且 所以 为等腰直角三角形，所以
又 ， ，所以 ≌ 所以 ，所以点 在 的平分线上.
10.解：（1）由题意，得
当 时， .
（2）由题意，得点 所在的反比例函数表达式为 ，图象在第一、三象限，且关于原点对称，函数 图象过原点，也关于原点对称，若函数图象有交点，则 ，不妨设在第一象限的交点为 ，则第三象限交点为 ， ，所以 ， ， ，又因为点 在 图象上，所以 ，即 ，所以 的面积为定值 .
二、拾阶而上
5．解方程 .
6．自行车选手甲、乙、丙三人同时从 点出发沿着 ， ， 三条直线段行进，选手甲在这三条直线上行进的速度分别为 ， ， ( )，选手乙在这三条直线上行进的速度分别为 ， ， ( )，选手丙在这三条直线上行进的速度分别为 ， ， ( ).若三名选手同时到达终点 ，求 的大小.
7．若干学生参加二中模联测试，参加测试学生得分均为 到 的整数(含 和 ).已知此次测试平均分为80分，其中恰有 人得分为 分.试计算参加测试学生人数的最小值.
5.解:当x<-2时,
,无解.
当x≥-2时, . ;故原方程解为 .
6.解:设 ， ， ，由题意可知
化简得 则 ， .
7.解:设n名学生参加测试,恰有5人得100分,n-5人最少每人60分,总分最少
,平均分最少 得 .
当5人得100分,5人每人得60分时,平均分= .故n最小=10.
8.解: 为正整数,得 ,若 ,则 ,
（3）若从点 向 轴上某点 出发，再从点 向 轴上某点 出发，再由点 到达点 ，求所走路径长度的最小值.
2016自主招生考试（数学）评分标准
1.解:原式=
2.解: 三天的降雨概率依次为 三天不降雨的概率依次为
3.解:设抛物线交点分别为 、 或
设一次函数解析式为 ，则 一次函数的解析式为
4.解:设大圆半径为 ，小圆半径为 ， ，即
11.解：（1）因为 ，所以二次函数的图象开口向上，又最小值为 ，所以 ，即
， ，所以 为直角三角形.
（2）依题意，得 由 ，所以
所以 又因为 ，所以
故有 所以
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 舍去，所以 .
（3）因为 ，所以 ， ，
当 时， ，解得 ，
不妨设பைடு நூலகம்， ，则
① ，解得
②过 作高 交 于 ，则
因为 ∽ ，解得
所以 内接正方形边长为 或 .
12.解：（1）设二次函数解析式为 ，由题意得：
可得： ，
（2）做直线 ，按照与点 的近远分别交⊙ 于 ，交⊙ 于 点
，
又 ，
（3）过点 作关于 轴的对称点 ，过 点作关于 轴的对称点 .
连接 交 轴于点 ，交 轴于点 ，此时线段 的长度即为所求路径最小值.
青岛二中2016年自主招生（数学）试题
一、崭露头角
1．化简 .
2．二中学生气象小组预测：“五一”假期中，三天的降水概率依次为 ， ， .请问这三天不经历降水的概率是多少？
3．一次函数的图象过抛物线 与 的两交点，求一次函数的解析式.
4．二中3D实验室加工一圆柱体，从其内部挖掉一个等高的小圆柱，得到一个新的几何体，其三视图如图所示，俯视图中⊙ 与⊙ 的弦 相切，且 （如右图），若该几何体的体积为 ，求弦 的长.
（1）求 与 的关系；
（2）求 的度数；
（3）证明：点 在 的平分线上.
四、勇攀高峰
10．已知边长为 的正方形 ，将 边 等分，点 是离点 最近的一个分点，正方形 截去以 为边长的正方形后，余下部分的面积记为 ，记 .
（1）当 时，求 的值；
（2）若函数 的图象与点 所在反比例函数图象交于 两点，过点 作 轴平行线与过点 作 轴平行线交于点 ，则 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.