2019-2020学年河南省信阳市淮滨县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，满分30分）1．（3分）若3x=-可以使一个二次根式有意义，这个二次根式可以是() A．1x+B．25x+C．34x-D．4x-2．（3分）下列二次根式中，与6是同类二次根式的是()A．18B．13C．24D．0.33．（3分）以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是()A．2，3，4B．1，1，2C．2,3,5D．5，12，13 4．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形()A．OA OC=，OB OD=B．BAD BCD∠=∠，//AB CD C．//AD BC，AD BC=D．AB CD=，AO CO=5．（3分）下列命题中正确的是()A．对角线互相平分的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形6．（3分）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误7．（3分）下列计算正确的是( ) A ．523-=B ．3523615⨯=C ．2(22)16=D ．313=8．（3分）如图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若18AC =，6GF =，则F 点到AC 的距离为何？( )A ．2B ．3C ．1243-D ．636-9．（3分）若3a =，30b =，则0.9(= ) A ．10abB ．10b aC ．10ab D ．10a b+ 10．（3分）在ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC ∆中BC 边的长为( ) A ．9B ．5C ．14D ．4或14二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）式子1x-有意义，则x 的取值范围是 ． 12．（3分）命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是 ，它是一个 （填“真”或“假” )命题．13．（3分）已知2(3)20x y y -++-=，则x y += ．14．（3分）如图，在ABC ∆中，58ACB ∠=︒，D ，E 分别是AB ，AC 中点．点F 在线段DE 上，且AF CF ⊥，则FAE ∠= ︒．15．（3分）如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =．点E 是BC 边上一点，连接AE 并将AEB ∆沿AE 折叠，得到AEB ∆'，以C ，E ，B '为顶点的三角形是直角三角形时，BE 的长为 cm ．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）计算：（1）112 21231548333+--；（2）2 (743)(743)(31)+---．17．（9分）先化简，再求值：已知8a=，2b=，试求144aa b ba+-+的值．18．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE BD⊥，垂足为点E，若2EAC CAD∠=∠，求BAE∠的度数．19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点，且BE DF=．求证：四边形AECF为平行四边形．20．（9分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求ABC∆的面积；（2）通过计算判断ABC∆的形状；．（3）求AB边上的高．21．（10分）【阅读材料】嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：222526(23)223(2)(3)223(23)+=++⨯++；222+=++⨯=++⨯⨯=+．827(17)2171(7)217(17)【类比归纳】（1）请你仿照嘉嘉的方法将20103+化成另一个式子的平方；（2）请运用嘉嘉的方法化简：1162-．【变式探究】若2±=±，且a，m，n均为正整数，则a=．a m n221()22．（10分）如图，在矩形ABCD中，16=，动点P、Q分别从A、C同AD cm=，6AB cm时出发点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为236cm；（2）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ是矩形；（3）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？23．（11分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，且2==．连接AE，AF，CE，CF．BF DE（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积；（3）如果M为AF的中点，P为线段EF上的一动点，求PA PM+的最小值．2019-2020学年河南省信阳市淮滨县八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，满分30分）1．（3分）若3x =-可以使一个二次根式有意义，这个二次根式可以是( )A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件即可判断．【解答】解：（A ）10x +，1x -，故3x =-不能使该二次根式有意义； （B ）250x +，52x -，故3x =-不能使该二次根式有意义； （C ）340x -，43x，故3x =-不能使该二次根式有意义； （D ）40x -，4x ，故3x =-能使该二次根式有意义； 故选：D ．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．2．（3( )A B C D 【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为6者即可．【解答】解：=的被开方数不同，故不是同类二次根式；B =的被开方数相同，是同类二次根式；的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C ．【点评】本题考查了同类二次根式的定义，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断． 3．（3分）以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( )A ．2，3，4B ．1，1CD ．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A 、22223134+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B 、22211(2)+=，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C 、222(2)(3)(5)+=，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D 、22251213+=，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A ．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形．4．（3分）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形( )A ．OA OC =，OB OD = B ．BAD BCD ∠=∠，//AB CDC ．//AD BC ，AD BC =D ．AB CD =，AO CO =【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案． 【解答】解：A 、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD 是平行四边形；B 、根据//AB CD 可得：180ABC BCD ∠+∠=︒，180BAD ADC ∠+∠=︒，又由BAD BCD ∠=∠可得：ABC ADC ∠=∠，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定； C 、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD 是平行四边形；D 、AB CD =，AO CO =不能证明四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．【点评】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．5．（3分）下列命题中正确的是()A．对角线互相平分的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项错误；B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项正确；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误【分析】首先证明()∆≅∆，可得AE CFAOE COF ASA=，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC EF⊥，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB AF=，所以四边形ABEF是菱形．【解答】解：甲的作法正确；四边形ABCD是平行四边形，∴，//AD BC∴∠=∠，DAC ACBEF 是AC 的垂直平分线，AO CO ∴=，在AOE ∆和COF ∆中， EAO BCA AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOE COF ASA ∴∆≅∆， AE CF ∴=，又//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确； //AD BC ，12∴∠=∠，67∠=∠，BF 平分ABC ∠，AE 平分BAD ∠，23∴∠=∠，56∠=∠， 13∴∠=∠，57∠=∠，AB AF ∴=，AB BE =， AF BE ∴=//AF BE ，且AF BE =，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB AF =，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选：C ．【点评】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形” )． 7．（3分）下列计算正确的是( ) A ．523-=B ．3523615⨯=C ．2(22)16=D ．13=【分析】根据二次根式的混合运算法则计算，判断即可． 【解答】解：5与2不是同类二次根式，不能合并，A 错误； 3523615⨯=，B 正确；2(22)8=，C 错误；33=，D 错误；故选：B ．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．8．（3分）如图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若18AC =，6GF =，则F 点到AC 的距离为何？( )A ．2B ．3C ．1243-D ．36【分析】过点B 作BH AC ⊥于H ，交GF 于K ，根据等边三角形的性质求出60A ABC ∠=∠=︒，然后判定BDE ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出60BDE ∠=︒，然后根据同位角相等，两直线平行求出//AC DE ，再根据正方形的对边平行得到//DE GF ，从而求出////AC DE GF ，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH ，然后根据平行线间的距离相等即可得解． 【解答】解：如图，过点B 作BH AC ⊥于H ，交GF 于K ， ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ∴∠=∠=︒，BD BE =，BDE ∴∆是等边三角形，60BDE ∴∠=︒，A BDE ∴∠=∠，//AC DE ∴，四边形DEFG 是正方形，6GF =， //DE GF ∴， ////AC DE GF ∴，33186693336636KH ∴=⨯-⨯-=--=-， F ∴点到AC 的距离为636-．故选：D ．【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，3倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键． 9．（33a 30b 0.9(= ) A ．10abB ．10b aC ．10ab D ．10a b+ 【分析】先将被开方数0.9化成分数910，观察四个选项，再化简为90100，开方，90330，代入即可．【解答】10ab ==； 故选：C ． 【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，注意被开方数是小数的要化成分数计算，且保||a =进行化简．10．（3分）在ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC ∆中BC 边的长为( )A ．9B ．5C ．14D ．4或14【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD ，CD ，再由图形求出BC ，在锐角三角形中，BC BD CD =+，在钝角三角形中，BC BD CD =-．【解答】解：（1）如图，锐角ABC ∆中，13AC =，15AB =，BC 边上高12AD =， 在Rt ACD ∆中13AC =，12AD =，22222131225CD AC AD ∴=-=-=，5CD ∴=，在Rt ABD ∆中15AB =，12AD =，由勾股定理得22222151281BD AB AD =-=-=，9BD ∴=，BC ∴的长为9514BD DC +=+=；（2）钝角ABC ∆中，13AC =，15AB =，BC 边上高12AD =，在Rt ACD ∆中13AC =，12AD =，由勾股定理得22222131225CD AC AD =-=-=，5CD ∴=，在Rt ABD ∆中15AB =，12AD =，由勾股定理得22222151281BD AB AD =-=-=，9BD ∴=，BC ∴的长为954DB CD -=-=．故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（31x -有意义，则x 的取值范围是 1x 且0x ≠ ． 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件解答：分式的分母不为0、二次根式的被开方数是非负数．【解答】解：根据题意，得10x -且0x ≠，解得，1x 且0x ≠，故答案是：1x 且0x ≠．【点评】本题考查了分式、二次根式有意义的条件．分式的分母不为零、二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（3分）命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是 对应角相等的三角形是全等三角形 ，它是一个 （填“真”或“假” )命题．【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假．【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．（3分）已知2(3)20x y y -++-=，则x y += 1 ．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：2(3)20x y y -++-=，∴3020x y y -+=⎧⎨-=⎩， 解得12x y =-⎧⎨=⎩， 则121x y +=-+=，故答案为1．【点评】本题考查了非负数的性质，利用该性质建立关于x 、y 的方程组是解题的关键．14．（3分）如图，在ABC ∆中，58ACB ∠=︒，D ，E 分别是AB ，AC 中点．点F 在线段DE 上，且AF CF ⊥，则FAE ∠= 61 ︒．【分析】由点D ，E 分别是AB ，AC 的中点可EF 是三角形ABC 的中位线，所以//EF BC ，再有平行线的性质和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可证明三角形EFC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出ECF ∠的度数，进而求出FAE ∠的度数． 【解答】解：D ，E 分别是AB ，AC 的中点，EF ∴是三角形ABC 的中位线，//EF BC ∴，EFC ECF ∴∠=∠，AF CF ⊥，90AFC ∴∠=︒，E 为AC 的中点，12EF AC ∴=，AE CE =， EF CE ∴=，EFC ECF ∴∠=∠， 1292ECF EFC ACB ∴∠=∠=∠=︒， FAE ∴∠的度数为902961︒-︒=︒，故答案为：61．【点评】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理的运用，题目的难度不大．15．（3分）如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =．点E 是BC 边上一点，连接AE 并将AEB ∆沿AE 折叠，得到AEB ∆'，以C ，E ，B '为顶点的三角形是直角三角形时，BE 的长为 3或6 cm ．【分析】分①90B EC ∠'=︒时，根据翻折变换的性质求出45AEB ∠=︒，然后判断出ABE ∆是等腰直角三角形，从而求出BE AB =；②90EB C ∠'=︒时，90AB E ∠'=︒，判断出A 、B '、C 在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC ，再根据翻折变换的性质可得AB AB '=，BE B E ='，然后求出B C '，设BE B E x ='=，表示出EC ，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：①90B EC ∠'=︒时，如图1，90BEB ∠'=︒，由翻折的性质得190452AEB AEB ∠=∠'=⨯︒=︒， ABE ∴∆是等腰直角三角形，6BE AB cm ∴==；②90EB C ∠'=︒时，如图2，由翻折的性质90AB E B ∠'=∠=︒，A ∴、B '、C 在同一直线上，AB AB '=，BE B E ='，由勾股定理得，22226810AC AB BC cm =+=+=，1064B C cm ∴'=-=，设BE B E x ='=，则8EC x =-，在Rt △B EC '中，222B E B C EC '+'=，即2224(8)x x +=-，解得3x =，即3BE cm =，综上所述，BE 的长为3或6cm ．故答案为：3或6．【点评】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）计算：（1）11221231548333（2）2(743)(73)(31)+--．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式43834323=23= （2）原式4948(3231)=---1423=-+233=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（9分）先化简，再求值：已知8a =，2b =，试求144a a b b a +-+的值． 【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值． 【解答】解：144a ab b a +-+ 2a a b b =+-+ 3a b =+ 当8a =，2b =时，原式832=+ 232=+42=【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．注意若被开方数中含有分母，开出来后仍然充当分母．18．（9分）已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，求BAE ∠的度数．【分析】首先证明AEO ∆是等腰直角三角形，求出OAB ∠，OAE ∠即可．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OC ∴===，OAD ODA ∴∠=∠，OAB OBA ∠=∠，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∴∠=∠，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，45AOE ∴∠=︒，1(18045)67.52OAB OBA ∴∠=∠=︒-︒=︒， 22.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现AEO ∆是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两个点，且BE DF =． 求证：四边形AECF 为平行四边形．【分析】连接对角线AC 交对角线BD 于点O ，运用OA OC =，OE OF =，即可判定四边形AECF 是平行四边形；【解答】证明：连接对角线AC 交对角线BD 于点O ．四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E ，F 是对角线BD 上的两点，且BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及判定和菱形的性质，本题的关键是灵活运用知识找出线段之间的关系．20．（9分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A 、B 、C 均为格点．（1）求ABC ∆的面积；（2）通过计算判断ABC ∆的形状；．（3）求AB 边上的高．【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）由三角形的面积即可得出结果．【解答】解：（1）ABC ∆的面积111444221345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（2）由勾股定理得：2224220AC =+=，222215BC =+=，2223425AB =+=， 222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90ACB ∠=︒；（3）2025AC ==5BC =，ABC ∆是直角三角形，AB ∴边上的高2552AC BC AB ⨯===． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形． 21．（10分）【阅读材料】嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 222526(23)223(2)(3)223(23)+=++⨯++；22287(17)171(7)217(17)+=++⨯=++⨯+．【类比归纳】（1）请你仿照嘉嘉的方法将20103+（21162-．【变式探究】 若221()a m n ±，且a ，m ，n 均为正整数，则a = 22或10 ．【分析】【类比归纳】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式易得220103(155)+；（2）利用完全平方公式求解；【类比归纳】把右边等式展开可得到m n a +=，21mn =，利用整式的特征得到mn ，于是得到m n +的值．【解答】解：【类比归纳】（1）2201031552155(155)+=++⨯⨯=+；（2）2116229229(32)32-=+-⨯⨯=-=-；【类比归纳】2()2m n m n mn ±=++，m n a ∴+=，21mn =，a ，m ，n 均为正整数，12137mn ∴=⨯=⨯，22a ∴=或10．故答案为：22或10．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发点P 以每秒3cm 的速度向B 移动，一直达到B 止，点Q 以每秒2cm 的速度向D 移动．（1）P 、Q 两点出发后多少秒时，四边形PBCQ 的面积为236cm ；（2）P 、Q 两点出发后多少秒时，四边形PBCQ 是矩形；（3）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ 为正方形？【分析】（1）先求出16CD =，6BC =，再由运动得出2CQ t =，163BP t =-，根据梯形PBCQ 的面积为36，建立方程求解即可得出结论；（2）由四边形PBCQ 是矩形，得出BP CQ =，进而建立方程求解即可得出结论；（3）由（2）求出325CQ =，进而判断出CQ BC ≠，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD 中，16CD AB ==，6BC AD ==，由运动知，3AP t =，2CQ t =，163BP AB AP t ∴=-=-，四边形PBCQ 的面积为236cm ， ∴1(1632)6362t t -+⨯=， 4t ∴=，P ∴、Q 两点出发后4秒时，四边形PBCQ 的面积为236cm ；（2）四边形PBCQ 是矩形，BP CQ ∴=，1632t t ∴-=，165t ∴=， P ∴、Q 两点出发后165秒时，四边形PBCQ 是矩形；（3）由（2）知，165t =秒时，四边形PBCQ 是矩形， 3225CQ t ∴==， 6BC =，CQ BC ∴≠，∴不存在某一时刻，使四边形PBCQ 为正方形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，梯形的面积公式，正方形的判定，用方程的思想解决问题是解本题的关键．23．（11分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，分别延长BD ，DB 至点E ，F ，且BF DE =AE ，AF ，CE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求四边形AECF 的面积；（3）如果M 为AF 的中点，P 为线段EF 上的一动点，求PA PM +的最小值．【分析】（1）连接AC交BD于O，根据正方形的性质得到BD AC⊥，BO DO=，AO CO=，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到2BD AC==（3）根据菱形的性质得到点A与点C关于直线EF对称，连接CM交EF于P，则此时，PA PM CM+=最小，过C作CN AF⊥于N，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AC交BD于O，四边形ABCD是正方形，BD AC∴⊥，BO DO=，AO CO=，2BF DE==OE OF∴=，∴四边形AECF是菱形；（2）解：四边形ABCD是边长为1的正方形，1AB AD∴==，2BD AC∴==32EF∴=，∴四边形AECF的面积112323 22AC EF==⨯；（3）解：四边形AFCE是菱形，∴点A与点C关于直线EF对称，连接CM交EF于P，则此时，PA PM CM+=最小，过C作CN AF⊥于N，则22222AC AN CN CF NF -==-， 设AN x =， 2222(2)(5)(5)x x ∴-=--， 解得：5x =， 35MN ∴=， 2222CM MN AC AN -=-，2222355()1()CM ∴-=-， 解得：32CM =， 故PA PM +的最小值32=．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。