八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是( ) AB C D2．下列计算正确的是( ) A ．3=B = C D 23．已知样本1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是 2 ，则13x +，23x +，33x +，43x +的平均数为( )A ． 2B ． 2.75C ． 3D ． 54．我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是( )A ．18，17B ．17，18C ．18，17.5D ．17.5，18512a -，则a 的取值范围为()A ．12a < B ．12a >C ．12a D ．12a6．在2(1)1y k x k =++-中，若y 是x 的正比例函数，则k 值为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．无法确定7．若等腰ABC ∆的周长是50cm ，一腰长为xcm ，底边长为ycm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是( ) A ．502(050)y x x =-<< B ．1(502)(050)2y x x =-<<C ．25502(25)2y x x =-<<D ．125(502)(25)22y x x =-<<8．如图，在44⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在格点上，下列结论错误的是( )A ．5AB =B ．90C ∠=︒C ．AC =D ．30A ∠=︒9．若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形10．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC DCB ∠+∠=︒，且2BC AD =，以AB ，BC ，CD 为边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ．若14S =，264S =，则3S 的值为()A ．8B ．12C ．24D ．60二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．将直线21y x =+向下平移2个单位，所得直线的表达式是 ．12．八年级两个班一次数学考试的成绩如下：八（1）班46人，平均成绩为86分；八（2）班54人，平均成绩为80分，则这两个班的平均成绩为分．13．如图，已知一次函数2=-+与的图象相交于(1,3)y xP-，则关于x的不等式22-+<+的解集是．x x m14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6BC=，将四个直角三角形中边长AC=，5为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．15．如图，在ABC∆AD=，则ABDAC=，BC边上的中线6AB=，13∆中，5的面积是．16．如图，在矩形ABCD中，5BC=，点E是BC边上一点，连AB=，12接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB ∆'为直角三角形时，BE = ．三.解答题（本大题共9小题，共86分）17．（12 （2）已知1x =，求代数式221x x +-的值．18．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接AN ，CM ． 求证：四边形AMCN 是菱形．19．甲、乙两名同学进入八年级后，某科6次考试成绩如图所示：（1）请根据统计图填写下表：（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析，你认为反映出什么问题？①从平均数和方差相结合分析；②从折线图上两名同学分数的走势上分析．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AD边上一点．（1）只用无刻度直尺在BC边上作点F，使得CF AE=，保留作图痕迹，不写作法；（2）在（1）的条件下，若2AE=，2==，求四边形ABCD的周AB FB FC长．21．求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）22．某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元)与所买水性笔支数x （支)之间的函数关系式；（2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．23．对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量x 不同的取值范围内，对应的函数表达式也不同．例如：1(0)1(0)x x y x x -+⎧=⎨+<⎩是分段函数，当0x 时，函数的表达式为1y x =-+；当0x <时，函数表达式为1y x =+． （1）请在平面直角坐标系中画出函数1(0)1(0)x x y x x -+⎧=⎨+<⎩的图象；（2）当2x =-时，求y 的值； （3）当4y-时，求自变量x 的取值范围．24．如图，正方形ABCD ，点P 为对角线AC 上一个动点，Q 为CD 边上一点，且90BPQ ∠=︒． （1）求证：PB PQ =；（2）若四边形BCQP 的面积为25，试探求BC 与CQ 满足的数量关系式； （3）若Q 为射线DC 上的点，设AP x =，四边形ABCD 的周长为y ，且4CQ =，求y 与x 的函数关系式．25．已知：直线:3(0)=-+≠始终经过某定点P．l y kx k k（1）求该定点P的坐标；（2）已知(2,1)A-，(0,2)B，若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；（3）在02x范围内，任取3个自变量1x，2x，3x，它们对应的函数值分别为y，2y，3y，若以1y，2y，3y为长度的3条线段能围成三角1形，求k的取值范围．2018-2019学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 【分析】下列二次根式中，最简二次根式是． 【解答】解：2，故本选项不合题意；是最简二次根式，故本选项符合题意；，故本选项不合题意；D =，故本选项不合题意；故选：B ．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．【分析】根据二次根式的运算法则即可判断 【解答】解：A 选项，33=，选项错误B 2=，选项错误C =D 2=，选项错误故选：C ．【点评】此题主要考二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【分析】利用样本1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是 2 ，可知123424x x x x +++=，进而即可求出13x +，23x +，33x +，43x +的平均数 ．【解答】解： 因为样本1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是 2 ，即123424x x x x +++=，所以13x +，23x +，33x +，43x +的平均数是1234122354x x x x ++++=+=．故选：D ．【点评】本题考查的是样本平均数的求法 ．12nx x x x n++⋯+=． 【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【解答】解：18出现的次数最多，18是众数． 第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17． 故选：A ．【点评】本题考查了确定一组数据的众数和中位数的能力．【分析】|21|a =-，则|21|12a a -=-，根据绝对值的意义得到210a -，然后解不等式即可． 【解答】解：|21|a =-，|21|12a a ∴-=-，210a ∴-，12a∴． 故选：C ．【点评】||a =．也考查了绝对值的意义．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k 的方程组，求出k 的值即可．【解答】解：函数2(1)1y k x k =++-是正比例函数，∴21010k k +≠⎧⎨-=⎩， 解得1k =． 故选：A ．【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数．【分析】根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式 【解答】解： 依题意，502y x =-根据三角形的三边关系得，502x x y x +>=-，得252x >502x x y x -<=-，得25x <得，25252x <<．故y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是：25502(25)2y x x =-<<故选：C ．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围． 【分析】根据勾股定理计算各边长，根据勾股定理逆定理计算角的度数．【解答】解：A 、由勾股定理得：5AB =，故此选项正确；B 、2222420AC =+=，222125BC =+=，22525AB ==，222AB BC AC ∴=+， 90C ∴∠=︒，故此选项正确；C 、AC ==D 、5BC =，5AB =，30A ∴∠≠︒，故此选项不正确； 本题选择错误的结论， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理和逆定理及格点问题，熟练掌握勾股定理是关键．【分析】根据题意画出图形，由四边形EFGH 是菱形，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【解答】解：根据题意得：四边形EFGH 是菱形，EF FG CH EH ∴===，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，2BD EF ∴=，2AC FG =，BD AC ∴=．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C ．【点评】本题考查的是菱形的性质、中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线的性质是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．【分析】过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AEB DCB ∠=∠，依据四边形AECD 是平行四边形，即可得出CE AD =，AE CD =，再根据勾股定理，即可得到222BE AB AE =+，进而得到3S 的值．【解答】解：如图，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AEB DCB ∠=∠，//AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，CE AD ∴=，AE CD =， 90ABC DCB ∠+∠=︒， 90AEB ABC ∴∠+∠=︒， 90BAE ∴∠=︒，222BE AB AE ∴=+，2BC AD =， 2BC BE ∴=，∴22214BC AB CD =+，即316444S ⨯=+， 312S ∴=，故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 【分析】根据平移k 值不变，只有b 只发生改变解答即可． 【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：21221y x x =+-=-， 即．所得直线的表达式是21y x =-． 故答案为：21y x =-．【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．【分析】若n 个数1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的权分别是1w ，2w ，3w ，⋯，n w ，则112212()()n n x w x w x wn w w w ++⋯+÷++⋯+叫做这n 个数的加权平均数． 【解答】解：(86468054)(4654)82.76⨯+⨯÷+=（分)， 答案为82.76．【点评】此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算公式．【分析】从图象可以看出，22x x m -+<+时，x 的取值范围即可求解． 【解答】解：从图象可以看出，当1x >-时，22x x m -+<+， 故答案为：1x >-．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x 的值，是解答本题的关键．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC 延长到点D ，连接BD ， 根据题意，得6212CD =⨯=，5BC =．90BCD ∠=︒222BC CD BD ∴+=，即222512BD += 13BD ∴=61319AD BD ∴+=+=∴这个风车的外围周长是19476⨯=．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【分析】延长AD 到点E ，使6DE AD ==，连接CE ，可证明ABD CED ∆≅∆，所以CE AB =，再利用勾股定理的逆定理证明CDE ∆是直角三角形即：ABD ∆为直角三角形，进而可求出ABD ∆的面积．【解答】解：延长AD 到点E ，使6DE AD ==，连接CE ，AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD ∆和CED ∆中，BD CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CED SAS ∴∆≅∆，5CE AB ∴==，BAD E ∠=∠，212AE AD ==，5CE =，13AC =，222CE AE AC ∴+=， 90E ∴∠=︒， 90BAD ∴∠=︒，即ABD ∆为直角三角形，ABD ∴∆的面积1152AD AB ==， 故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．【分析】当CEB ∆'为直角三角形时，只能是EB C ∠'为直角，即可求解． 【解答】解：5AB =，12BC =，则13AC =， 当CEB ∆'为直角三角形时，只能是EB C ∠'为直角， 即A 、B '、C 三点共线，设：BE a BE =='，则12CE a =-，5AB AB ='=，1358B C AC AB '=-'=-=，由勾股定理得：222(12)8a a -=+， 解得：103a =，故答案为103．【点评】本题考查的翻折变换（折叠问题），涉及到勾股定理的运用，本题关键是确定当CEB ∆'为直角三角形时，只能是EB C ∠'为直角，进而求解．三.解答题（本大题共9小题，共86分）【分析】（1==，再利用根式的混合运用即可（2）代数式221x x +-可变型为22212(1)2x x x ++-=+-，再将1x =代入即可求值 【解答】解： （1）原式2=3=（2）原式221x x =+-2212x x =++-2(1)2x =+-，将1x =代入原式得，211)20+-=【点评】此题主要考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键．【分析】先证明四边形AMCN 为平行四边形，又AC MN ⊥，则四边形AMCN 是菱形．【解答】解：ABCD 是矩形，则//AD BC ，MAC NCA ∴∠=∠，而MN 是AC 的垂直平分线， 则NAC NCA ∠=∠，AMC CMA ∠=∠，而MAC NCA ∠=∠，NAC MCA ∴∠=∠，//AN CM ∴，∴四边形AMCN 为平行四边形，又AC MN ⊥，∴四边形AMCN 是菱形．【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，关键也熟练运用特殊四边形的性质和判定定理，简明证明． 【分析】（1）甲方差：2222221[(6075)(6575)(7575)(7575)(8075)(9575)]1256-+-+-+-+-+-=，甲的中位数：75，乙的平均数：1(857070757080)756+++++=，乙同学的众数为70；（2）①从平均数看，甲同学的成绩比乙同学稍好，但是从方差看，乙同学的方差小，乙同学成绩稳定，综合平均数和方差分析，乙同学总体成绩比甲同学好；②从折线图上两名同学分数的走势，甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步计较快，乙同学的成绩有较大幅度波动，不算稳定． 【解答】解（1）甲方差：2222221[(6075)(6575)(7575)(7575)(8075)(9575)]1256-+-+-+-+-+-=， 甲的中位数：75，乙的平均数：1(857070757080)756+++++=乙的众数为70；故答案为：125，75，75，70；（2）①从平均数看，甲同学的成绩比乙同学稍好，但是从方差看，乙同学的方差小，乙同学成绩稳定，综合平均数和方差分析，乙同学总体成绩比甲同学好；②从折线图上两名同学分数的走势，甲同学的成绩在稳步直线上升，属于进步计较快，乙同学的成绩有较大幅度波动，不算稳定．【点评】本题考查了折线统计图，正确理解方差、中位数、平均数、众数的含义是解题的关键．【分析】（1）如图，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于点F，点F即为所求．（2）求出AB，BC即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点F即为所求．AE=，=，2AE CF∴=，2CFAB FB FC==，2∴==，AB BF4∴=，6BC四边形ABCD是平行四边形，BC AD==，AB CD∴==，64∴平行四边形的周长为20．【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【分析】由“四边形ABCD是矩形”得知，AB CD=，矩形的=，AD BC四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理SAS 判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论． 【解答】解：已知：四边形ABCD 是矩形，AC 与BD 是对角线， 求证：AC BD =，证明：四边形ABCD 是矩形，AB DC ∴=，90ABC DCB ∠=∠=︒，又BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆， AC BD ∴=，所以矩形的对角线相等【点评】本题考查的是矩形的性质和全等三角形的判定．（1）在矩形中，对边平行相等，四个角都是直角；（2）全等三角形的判定原理AAS ；三个判定公理(ASA 、SAS 、)SSS ；（3）全等三角形的对应边、对应角都相等．【分析】（1）由于①购1个书包，赠送1支水性笔，而需买4个书包，由此得到还要买(4)x -支水性笔，所以得到1(4)5204y x =-⨯+⨯；又购书包和水性笔一律按9折优惠，所以得到2(5204)0.9y x =+⨯⨯；（2）设12y y >，求出当24x >时选择2优惠；当424x 时，选择1优惠．（3）采取用优惠方法①购买4个书包，再用优惠方法②购买8支水性笔即可．【解答】解：（1）设按优惠方法①购买需用1y 元，按优惠方法②购买需用2y 元（1分）1(4)5204560y x x =-⨯+⨯=+，2(5204)0.9 4.572y x x =+⨯⨯=+．（3分）（2）解：分为三种情况：①设12y y =，560 4.572x x +=+，解得：24x =，∴当24x =时，选择优惠方法①，②均可；②设12y y >，即560 4.572x x +>+，24x ∴>．当24x >整数时，选择优惠方法②；（5分）③当设12y y <，即560 4.572x x +<+24x ∴<∴当424x <时，选择优惠方法①．（7分）（3）解：采用的购买方式是：用优惠方法①购买4个书包， 需要42080⨯=元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需要8590%36⨯⨯=元． 共需8036116+=元．∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．【点评】（1）利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质；（2）用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题．【分析】（1）当0x 时，1y x =-+，为一次函数，可以画出其图象，当0x <，1y x =+，也为一次函数，同理可以画出其图象即可；（2）当2x =-时，代入1y x =+，求解y 值即可；（3）4y =-时，分别代入两个表达式，求解x 即可．【解答】解：（1）当0x 时，1y x =-+，为一次函数，可以画出其图象， 当0x <，1y x =+，也为一次函数，同理可以画出其图象，如下图：（2）当2x =-时，1211y x =+=-+=-；（3）4y =-时，14y x =-+=-，解得：5x =，14x +=-，5x =-，故55x -．【点评】本题考查的是一次函数的性质，主要考查的是函数图象的画法、函数值的计算等，难度不大．【分析】如图，正方形ABCD ，点P 为对角线AC 上一个动点，Q 为CD 边上一点，且90BPQ ∠=︒．（1）求证：PB PQ =；（2）若8BC CQ +=，求四边形BCQP 的面积；（3）设AP x =，四边形ABCD 的周长为y ，且2CQ =，求y 与x 的函数关系式．【解答】（1）证明：如图1中，作PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F ． 四边形ABCD 是正方形，ACD ACB ∴∠=∠，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F ，PE PF ∴=，90PEC PFC ECF ∠=∠=∠=︒，∴四边形PECF 是矩形，PE PF =，∴四边形PECF 是正方形，90EPF BPQ ∴∠=∠=︒，BPE QPF ∴∠=∠，90PEB PFQ ∠=∠=︒，()PEB PFQ ASA ∴∆≅∆，PB PQ ∴=；（2）如图1中，由（1）可知BPE PQF ∆≅∆，四边形PECF 是正方形， BE FQ ∴=，CE CF =，BPE PQF S S ∆∆=，25BCQP CEPF S S ==四边形四边形，5CE CF ∴==，10EC FC BC CQ ∴+=+=，10BC CQ ∴+=；（3）如图2，过P 做//EF AD 分别交AB 和CD 于E 、F ．AP x =，AE PE ∴==， BPE PQF ∆≅∆，EP AE QF ∴===，4BE CF ==+，44AB ∴=++=，2(4y ∴=)8x =+．【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【分析】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P 的坐标；（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k 的取值范围；（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k 的取值范围．【解答】解：（1）3(1)3y kx k k x =-+=-+，当1x =时，3y =，即为点(1,3)P ；（2）点A 、B 坐标分别为(0,1)、(2,1)，直线l 与线段AB 相交，直线:3(0)l y kx k k =-+≠恒过某一定点(,3)P ，31231k k k -+⎧∴∴⎨-+⎩， 解得，2k ；（3）当0k >时，直线3y kx k =-+中，y 随x 的增大而增大，∴当02x 时，33k y k -++，以1y 、2y 、3y 为长度的3条线段能围成三角形，∴302(3)3k k -+>⎧⎨-+>⎩，得32k <，302k ∴<<； 当0k <时，直线3y kx k =-+中，y 随x 的增大而减小，∴当02x 时，33k y k +-+，以1y 、2y 、3y 为长度的3条线段能围成三角形，∴302(3)3k k k +>⎧⎨+>-+⎩，得1k >-， 10k ∴-<<，由上可得，10k -<<或302k <<． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．。