乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，…… 完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1 ×m2 ×……×m n种不同的方法。
例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。
假期小茗有一次长途旅游，他从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法?例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？【巩固】在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃饭的有餐勺、餐叉和餐筷。
如果一种装饭菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复的餐具多少套?例3 小红、小明准备在5×5的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共有多少种方法？【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？例4 用数字0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？①各个位上的数字允许重复；②各个位上的数字不允许重复；【巩固】由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例5 把1～100 这100 个自然数分别写在100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？小结：应用乘法原理解决问题时要注意：①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成；②要一步接一步的完成所有步骤；③每个步骤各有若干种不同的方法。
加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk种不同的方法．例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150 本，不同的科技书200 本，不同的小说100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例7 一个口袋内装有3 个小球，另一个口袋内装有8 个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例8 如图，从甲地到乙地有4 条路可走，从乙地到丙地有2 条路可走，从甲地到丙地有3 条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？例9 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例10 从1 到500 的所有自然数中，不含有数字4 的自然数有多少个？例11 如图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？例 12 如图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？家庭作业：1.由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个：①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8 的没有重复数字的三位数？⑤百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？2.某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 0～9 中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？3.图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？4.现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？5.将10 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?分给三个人有多少种分法？6.有红、白、黄、蓝四种颜色的彩旗各 1 面，不同的旗可以表示不同的信号，不同的颜色排列也可以表示不同的信号，这 4 面旗可以发出多少种信号?7.从最小的五个质数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数?8.用1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少？9.从1 到500 的所有自然数中，不含数字 2 的自然数有多少个?n Ⅰ 排列在实际生活中把一些事物进行有序的排列，计算共有多少种排法，这就是数学上的排列问题。
在排的过程中不仅与参加排列的事物的多少有关，而且与排列的先后顺序有关，那么所有排列的个数叫做排列数。
一般的从 n 个不同的元素中任取 m 个（ m ≤ n ）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
记作： A m= n (n - 1)(n - 2) ⨯ ⨯ (n - m + 1) 。
例1 计算 （1） A3（2） A 4-2 A2588【巩固】计算：（1） A2 （2） A 3- A2（3） 3 A 3- A4（4）（6× A 6）÷ A761414541212例2 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【巩 1】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【巩 2】某铁路线共有 14 个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的五位数？【巩固】由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少没有重复数字的①三位数？②个位是 5 的三位数？③百位是 1 的五位数？④六位数？例4 幼儿园里的6 名小朋友去坐3 把不同的椅子，有多少种坐法？【对比】幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？例5 有4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时 3 人站成一排）例6 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【巩固】9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？【拓展】5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？Ⅱ 组合在生活中还经常有许多“分组”问题，即从一些事物中选出几个不同的事物分成一组，计算共有多少种分组方法， 这就是数学中的组合问题。
nnA n组合是指从 m 个不同元素中选出 n 个元素组合在一起。
组合数用符号“ c m ”表示， c m例 7 计算：① c 3 ； ② c1998；③ c 3 × c 2 ； ④ A 2 - c 6.m 。
n n1520004888例8 分别写有 1、2、3、4、5、6、7、8 的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问： ①有多少种不同的和？②有多少个不同的加法算式？例9 在圆周上有 12 个点.①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？【拓展】以下图 8 个点中的 3 个为顶点，共可画出多少个不同的三角形?例 10 7 名运动员中选出两名参加决赛，有多少种不同的选法？A【对比】有 7 名同学参加游泳比赛，获得冠军与亚军的名单中有几种不同的情形？例 11 球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里比赛，某两名女生最多入选一人，某两名男生至少选一人，共有多少种选法？【拓展】学校乒乓球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里的比赛，（1）至少两名女生入选，有多少种不同的选法？（2）A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人不能同时入选，有多少种不同的选法？（3）A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人最多入选 2 人，有多少种不同的选法？例12 一次射击练习中，有 9 个气球排成 3 列(如图)，要求每一次射击都要击打某一列中的最低一个，那么击碎全部 9 个气球有多少种不同的次序?小结：排列组合问题其实是乘法原理与加法原理应用的延伸，很多排列问题都能用乘法原理来解决。
其实在解决组合计数问题时，最重要的是理解题意，想清楚解决问题的关键是什么，以及各种情况，然后具体情况具体分析。
排列与组合的区别主要在于：排列的结果是元素相同顺序不同算作不同的结果，而组合的结果是元素相同顺序不同算作同一种结果。
家庭作业：1、①用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）②用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的三位数？③用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的七位数？④从 1、2、3、4、5、6、7 中选出三个不同数字，有多少种不同的选法？2、圆周上有 7 个点，以这些点为顶点连四边形，一共能画出多少个不同的四边形？3、6 本不同的书借给 10 个小朋友，每人至多借一本，且 6 本书全部借出，一共有多少种不同的借书方法？4、张华、李明等七个同学照像，分别求出下列条件下有多少种站法?①七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；②七个人排成两排，前排三人，后排四人；③七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。
5、把7 本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1 本，两人的本数不能相差1，则不同的分法共有（）种。
6、六五班有 8 名同学参加《科技与环保》的宣传活动。
他们在街头站成一排，向行人宣传环保知识，其中正副两名组长不排在一起，一共有多少种排法?7、A、B、C、D、E、F、G、7 人排成一列，要求A 在B 前，B 在C 前，G 在D 前。
共有多少种不同排队方法?8、从 15 名同学中选 5 名参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种。
(1)甲、乙二人必须入选；(2)甲、乙二人中至少有一人入选；(3)甲、乙、丙三人中恰有一人入选；9、张华、李明等七个同学照像，分别求出符合下列条件的排法各有多少种。
(1)七个人排成一排，张华必须站在中间；(2)七个人排成一排，张华李明至少有一人站在两边；= 前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多， 要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.加法原理：完成一件事情，可以有n 类方法；在第一类方法中有m 1 种不同的方法，在第一类方法中有m 1 种不同的方法，在第二类方法中有m 2 种不同的方法，……在第n 类方法中有m n 种不 同的方法；那么完成这件事共有：N=m 1 +m 2 +m 3 +… +m n 种不同的方法。