概率与统计、计数原理专题分析高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！一、专题考点分析1.考点分析2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下.（1）全国Ⅰ卷.文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算；理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差（2）全国Ⅱ卷文科：古典概型、频率分布直方图的应用；理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数.（3）全国Ⅲ卷.文科：折线图、古典概型；理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望（4）北京卷.文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差（5）天津卷文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望（6）江苏卷几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望（7）浙江卷随机变量的期望和方差、二项式定理（8）山东卷文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型；理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布2. 题量与分值分析每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下（1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分（2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分.（3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分.（4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分.（5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分.（6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.（7）浙江卷考查一道选择题和一道填空题，总分值为10分.（8）山东卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分.3. 内容特点分析试题围绕统计与概率、计数原理部分的基础知识和基本方法，考查学生运用统计与概率、计数原理部分的知识与方法来分析和解决实际问题的能力，考查学生分析、综合，建立模型，运算求解能力，数据处理能力和应用意识，对能力的考查比较全面，强调综合性、应用性，并切合学生实际. 考查以代数运算为主. 对于数据处理主要是考查学生运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力. 从试题的难度上来讲，多数的题目属于中、低档题，难度适中，题目设计与实际生活相互联系，注重对数学思想方法、数学能力的考查，展现了数学的人文价值。

对于简单随机抽样和分层抽样，考查频率分布直方图和散点图、折线图等统计图，计算平均数和方差、中位数等数字特征，用样本的数字特征估计总体. 回归方程的确定和应用在文、理科的解答题中多数是以统计图、表的形式给出的，文科则以客观题的形式直接考查；山东卷理科第8题、第18题，北京卷理科第17题，江苏卷第23题，天津卷文科第3题，山东卷文科第16题涉及概率与古典概型；江苏卷第7题涉及几何概型；几乎所有试卷理科的相关解答题都考查了随机变量的分布列期望和方差；全国Ⅱ卷文、理科第18题都考查了独立性检验，山东卷理科第5题考查了回归直线方程.4. 文、理科差异分析《标准》及考试大纲中对文、理科概率统计、计数原理的内容和要求、难度都不同，文科学生不学习计数原理，不学习概率的分布列，因而以往文、理科试题的差异主要表现在有无计数原理方面的试题，以及概率问题中需要计数方法的不同上. 文科概率考查列举基本事件，理科则考查计数原理和随机变量. 共同点为都用频率估计概率. 2017年各地区高考数学试卷文、理科解答题的考查均有相同部分，也有不同之处. 综观2017年各地区高考数学概率统计与计数原理的试题，其中仍不乏一些文、理科试卷完全相同的题目. 例如，全国Ⅰ卷文科第4题与理科第2题，全国Ⅲ卷文、理科第3题.5. 思想方法分析2017年高考在概率、统计与计数原理部分的考查注重了对学生数学思想的考查，统计、概率与计数原理中蕴涵着丰富的数学思想和独特的方法. 例如，化归思想、数形结合思想、建模思想、分类讨论思想、分析与综合思想等. 这些思想方法从试题的解决中都得以体现. 例如，北京卷理科第17题考查了数形结合思想、转化化归思想、统计的思想内涵与实际应用的价值理解，以及以此题目为主题的数学思想.二、试题赏析1.素材丰富，与实际生活联系紧密（全国Ⅲ卷·理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？此题以超市购买酸奶的问题为背景，把概率统计的问题与最值问题融合在一起，主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、分段函数、函数的最值等概率与统计和函数综合的知识，考查了学生的抽象概括能力、建模能力、综合分析能力，体现了数学的应用性价值.2. 加强统计与概率的融合，突出应用能力考查，增强实践性（全国Ⅱ卷·理18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）． 附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 评析 此题以现实社会生产实践中，水产品养殖方法的创新问题为背景，设计了根据样本数据分析比较新、旧养殖方法产量的问题．试题的第1问设计为根据直方图估计某事件的概率；第2问设计为根据整理的数据进行随机变量间独立性的检验；第3问设计为根据直方图，估计总体中位数．全题很好地考查概率与统计的思想方法，反映了当前全民创业、大众创新的现实，体现了“立德树人”的教育理念．3. 符合时代需求，突出数据处理能力（统计与概率的考查深度和广度在加大）有关概率的解答题，由于用实际生活的模型作为题目的载体信息量过大，则抓住中心、主体，从各角度考查信息、理解信息，从中舍弃无关信息而提取出有用信息的能力就至关重要. 另外，要能够识图处理数据，统计与概率中有大量的数据与图形相关. 从一些地区的高考试题中也出现了体现识图处理数据，考查概念和思想的题目，（全国Ⅰ卷·理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s =≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2≈0.09≈．【评析】此题充满了创新性，数据处理问题是试题的另一个亮点，从大量数据中对研究问题提取出有用的信息，构建“随机抽样—收集数据—整理、分析数据—提取信息—用信息去说明问题”的框架. 在统计问题中，数据的获得是至关重要的. 此题用给出的数据，灵活的考查了相关知识，尤其第（2）小题，在原有16个数据平均数和标准差考查去掉一个数后的平均数标准差，用数据说话，也是每年高考概率与统计试题之中的有效考查方式仍以例2为例，其原型为人教 A 版《普通高中数实验教科书·数学3（必修）》第79页的“阅读与思考”，其讲述的是运用统计原理进行产品质量控制的基本思想，同时也给出了第（2）小题这种检验方法合理性的准确说明. 通过阅读，学生能够对题目的检验过程更加熟悉，从而更容易理解题意，更快地从中提取出有用的信息. 此题的出现诠释了重视教材的重要性，也体现了回归教材的导向性. 设问语言的准确、简明、精炼、通俗、易懂. 充分发挥了教材的功能，使高考的命题有利于引导正确的教学方向，让学生回归数学教学的本真.改编题的最高境界是得其意，忘其形. 教材改编题往往可以让人眼前一亮，既然教材改编题是高考重要的趋势，那么，教学复习就应该遵循规律、重视基础、回归教材、培养能力，这样才能体现数学的本质.三、命题趋势及热点分析概率、统计与计数原理是高中学习的重要组成部分，是高考考查的重点、是容易得分的部分，同时也是大学数学统计学的基础. 分析2017年全国各地区高考数学试题，预测2018年高考概率与统计部分的命题趋势和热点. 预计2018年的全国高考命题中，概率与统计部分的解答题难度不变. 主要考查学生处理数据的能力，对概率事件的识别、概率的计算能力、阅读与理解能力、分析问题与解决问题的能力和应用意识.1. 随机事件的概率问题事件概率的计算仍是客观题和主观题的考查重点，主要是古典概型问题和几何概型问题，当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，这就要用到互斥事件的概率加法公式或考虑其对立事件. 理科运用计数原理，文科则直接列举基本事件.2. 统计图、表的运用从统计图、表中读取所需的信息是学生统计知识和能力的重要体现，也是高考的热点. 解决该类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，统计图、表的运用是理科解答题的依托，是文科解答题的主题.折线图与散点图有望继续考查.3. 统计与概率问题综合概率与统计部分的解答题大多考查统计与概率的综合运用，是高考的必考点. 文科倾向于古典概型和统计问题的综合，理科倾向于随机变量的分布列期望方程的考查4. 教材改编题的继续高考万变不离其宗，其中的“宗”指的就是教材. 很多高考题都源自教材中的定理或定理中的思想方法，或是例题与习题的重新组合等.5.注重与现实生活的联系概率统计应用题是揭示实际问题所隐含数学本质的载体. 2017 年高考数学命题十分关注如何寻找真正体现数学本质的实际问题，以淡化复杂运算，强化数学探究，突出对概率与统计的基本概念、基本思想和基本方法的考查.6. 重考查应用意识和创新能力高考对概率与统计内容的考查，往往以实际应用题出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向概率、统计解答题，侧重于分布列与期望. 近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势；计数问题是高考中相对独特的一个知识点，命题经常结合实际应用，解题时所用到的知识和公式极其简单，就是两个基本原理和排列组合公式. 2018年高考将继续秉承考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加教学价值和应用功能”的指导思想，设置灵活的题目情境，赋予时代气息、贴近学生实际. 所以在概率统计复习中应加强基础，注重应用.7. 注重学科内知识间的交会，提升数学能力鉴于培养学生数学核心素养的目标，今后概率统计与计数原理更多会关注知识间的迁移，主动建模意识仍是解决问题的关键. 概率是与各章知识交会的学科内综合问题，其新颖性、综合性正好体现了新高考能力立意及在知识网络交会处设计命题的精神，一些建立在函数、向量、数列、立体几何、平面解析几何等背景之上的概率问题会越来越体现出生命力.8. 正态分布与其他知识点结合是考查靓点正态分布是最重要、最常见的一种连续型分布, 是今后将要学习的各种统计推断方法的理论基础．理科考生在人教版高中数学《选修2-3》第二章 2.4 节《正态分布》中有详细的学习, 文科考生在人教版高中数学《必修3》第二章2.2 节后的《阅读与思考》中有所了解. 对正态分布等知识的综合考查, 是高考概率统计题的靓点．如2014 年全国I 卷理18 题, 考查频率分布直方图的知识,考查从分组数据提取特征数的方法, 并与正态分布相结合考查样本估计总体的应用, 同时结合独立重复试验的概率模型考查二项分布．无独有偶, 2017年全国I 卷理18与2014 年全国I 卷理18 题有一定的相似度, 都是将正态分布与二项分布、数学期望巧妙结合, 也考查样本平均数与样本方差的计算, 数学期望的求解也都是直接利用二项分布模型公式EX = np．细心领悟命题者的意图, 能感受试题中蕴含着许多内在的联系9. 弱化文、理科差异虽然考试大纲明确指出了文、理科试题的差异，但统计近些年的试题，在很多知识考查上这种差异在明显缩小，或是完全相同，亦或是以姊妹题的形式出现，所以未来的计数原理考查仍会淡化复杂排列组合数公式的应用，大多数问题用列举法即可解决.10. 重视考纲考点的变化高考全国卷概率统计解答题一直都比较重视数学应用, 考查的知识点非常不稳定, 从以往考查过的知识点分布来看, 集中度不高, 每年都有变化．给复习备考教师们的感觉是: 教材中边边角角的内容, 哪里没考考哪里．这种灵活多变的考题给师生复习备考带来很多不确定性, 正是由于这种不确定性, 对每一位考生来说是最公平的．命题人教育理念新, 专业知识精, 选拔标准高, 命制出的试题超出一线教师的想象, 总能源于教材高于教材, 契合新课标精神.统计背景下的概率问题, 求随机变量的分布列、期望与方差的套路题不再是主角, 弱化概率中的计数问题, 侧重于统计思想, 数据分析与处理, 结合生活实际的决策性问题, 突出应用意识.。