再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1


y

2t

1.
z t
高等数学七⑥
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代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},

B1 B2
y y

C1z C2z

D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,

M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
程与参数方程
五、小结
1、方向向量
2、方程的建立

y

y0

nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
高等数学七⑥
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例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1


y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标 (1,0,2),
高等数学七⑥
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因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
sin
A2

| Am Bn B2 C2
Cp | m2 n2

p2
|12
7
(1)(1)
6 9
.
2
2|
arcsin 7 为所求夹角．3 6
36
高等数学七⑥
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一、空间直线的一般方程 1、定义与夹角公式
二、空间直线的对称式方 2、直线与平面的位置关系：
高等数学七⑥
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2、直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
高等数学七⑥
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1、定义与夹角公式
⑴定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角
称为直线与平面的夹角．0 .

2
L: :
x x0 m
Ax By
y
y0 n Cz
z z0 p
2
0
4
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1、定义与夹角公式
⑴定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
⑵两直线的夹角公式
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
D 0,
,
s n

{m, n, p}, { A, B, C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
⑵直线与平面的夹角公式
sin cos



cos
.
2
2
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
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例 4 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、小结 思考题
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 2 : A2 x B2 y C2z D2 0

A1 A2
x x
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2、两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2

m1 m2

n1 n2

p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1

{1,4,
0},
直线 L2 :

s1

s2

0,
s2 {0,0,1},

s1

s2
,
即 L1L2 .
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例 3 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知
s
n1
,
s
n2
,
取 s n1 n2 {4,3,1},