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x 1 y z 1 例 5 设直线 L : ，平面 2 1 2 : x y 2 z 3 ，求直线与平面的夹角.
解
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思考题
x4 y z2 m 、 在直线方程 中， 2m n 6 p n 、 p 各怎样取值时，直线与坐标面xoy 、
s {m , n, p},
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
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x x 0 y y0 z z 0 m n p
直线的对称式方程
x x 0 y y0 z z 0 令 t m n p
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
2 x y 5 z 1的交线平行的直线方程.
解
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x 1 y 1 z 例 4 求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解
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四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2
x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,
s {m , n, p}, n { A, B , C },
^ ( s , n) 2
^ ( s , n) 2
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sin cos cos . 2 2
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
A B C . (1) L m n p ( 2) L // Am Bn Cp 0.
交，求其方程.
解
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三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
cos( L^ ,L )
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0 空间直线的一般方程 x
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
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例 3
求过点( 3, 2, 5) 且与两平面 x 4 z 3 和
yoz 都平行.
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1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
两直线的夹角公式
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2
2
2
2
2
2
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
直线的参数方程
直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
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下页Biblioteka 返回结束例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
解
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y 轴垂直相 例 2 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和
z
1 2
o
L
y
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
M L,
z
s
M0
L
M
y
M ( x , y , z ),
x
o
M 0 M // s