空间直线与平面的方程及其位置关系————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班指导教师 李树霞摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。

平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。

关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程1.１ 直线的对称式（点向式)方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v平行的直线l 就被唯一确定,向量v叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,=.设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r OM=,由于M M 0与v （非零向量)共线,则vt r r =-0 即v t r r+=0（1.1－1）叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。

如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v =,那么（１.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。

消参数ｔ即得 Zz z Y y y X x x 000-=-=- （1．１-3)则（1.１-３)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。

例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。

解 取21M M v=作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点(如右图),那么},,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-==所以直线l 的向量式参数方程为:);(121r r t r r-+= （1．1-4)坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （１．1－5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (１.１-6）方程(1.4－４）（1.4-5)（1.4-6)都叫做直线l 的两点式方程。

１.１．1直线的方向数①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v,则直线的方程为00v t r r+=(参数方程)或 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.１－７） 标准方程γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (1．1-8)由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离． ②直线的几个问题Ⅰ．直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向．Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Ｚ或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系 222222222cos ,cos ,cos nm l n nm l m nm l l ++±=++±=++±=γβα1．2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线。

如果两个相交平面的方程分别为01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A （1A 、1B 、1C 与2A 、2B 、2C 不成比例),则它们的交线是空间直线。

该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。

所以方程组⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A(1．2-１）就是这两个平面交线的方程。

方程(1.2－１）称为空间直线的一般方程。

1.3 直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线.如 将一般方程(特殊的一般方程)化为⎩⎨⎧+=+=d bz y caz x (直线的射影式方程).1.４ 直线一般方程与标准方程的互化① 标准方程化为一般方程.(方向数不全为零) ② 一般方程化为标准方程一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A(1)确定直线的两平面法向量21,n n 的向量积21n n⨯为直线的一个方向向量.(2)取方程组的一组特解得直线l 上一点),,(0000z y x M 化得直线标准方程:221102211022110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=-2 空间平面的方程 2.１ 空间平面的一般方程一个平面I 是由垂直它的非零向量ｎ和平面上的一个点M 唯一决定的。

设n=（A,B ，C)(不为零向量)表示垂直I 的方向,称n 为I 的法向量由于ｎ为平面I 的法向量，Ｍ０(x 0,y 0,z 0）为Ｉ上一点,则对于空间中任意一点Ｍ(x,y ，ｚ），M 在Ｉ上当且仅当00=⋅n MM 或n OM n OM ⋅=⋅0 （3.1．2—1) 用坐标来表示，化为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 令)(000Cz By Ax D ++-=,则得到平面的方程0=+++D Cz By Ax (3.1.2—2） 这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。

反之，对于任何一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0, 不妨设0≠A ,则该方程又可写成 0)(=+++Cz By ADx A 作过点)0,0,(AD-，垂直于方向),,(C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程,即一个三元一次方程表示一个平面。

由此可以看出,经由坐标系,空间中的平面与一个四元数组),,,(D C B A 相对应。

但是,这种对应不是一对一的，对于所有的0≠k ，),,,(kD kC kB kA 对应同一平面。

由(３．1.2—２)表示的方程称为平面的一般方程。

3.２ 空间平面的法式方程把（3.1.2—1）式两边同时与n 1=λ或n1-=λ相乘,符号的选取使得0)(0≥⋅n OM λ。

这样n n λ=0 为从原点指向平面Ｉ的单位向量0)(≥⋅=n OM p o λ为原点O 与平面I 的距离。

此时可以得到I 的另一种方程表示 p n OM =⋅00，10=n ，p ≤0称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子。

它的几何意义是：平面I 是由所有的满足OM 在垂直于I 的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的。

若以给平面I 的方程为0=+++D Cz By Ax 则I 的法式方程可以表示成0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221CB A ++±=λ,λ正负号的选取要使得0≤D λ。

法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题。

３.３ 空间平面的参数方程npnMab Mo（3.1.4—1) （3.1.4—２）从图（3．１．4—2）中可以看出，平面Ｉ是由I 上一点0M 与两个不共线的与I 平行的向量a,b(或者说是I 上两个不共线的向量）所决定的。

设0M ),,(000z y x ∈I ，),,(321a a a a =，),,(321b b b b =,ａ，b 与I 平行且0≠⨯b a 。

则空间中任意一点),,(z y x M 在I 上,当且仅当M M 0，a,b 三向量共面。

从而有实数k,m ，使得mb ka M M +=0 或者 mb ka OM OM ++=0 使用分量来表示,则可得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=330220110mbka z z mb ka y y mb ka x x (３．１.4—３)我们称(3.1．4—３)为平面的参数方程,其中参数为k 和m 。

从(3.1.４—3）中消去参数ｋ,ｍ,可以得到关于x,y,ｚ的三元一次方程321321000b b b a a a z z y y x x ---=0 3.4 空间平面的截距式方程 对于由方程0=+++D Cz By Ax所表示的平面I 。

假设I 过原点O,即)0,0,0(在Ｉ上当且仅当0=D 。

若0≠D ，则平面I 可用方程1=++czb y a x (３．４—1) 表示，其中)0,0,(a ,)0,,0(b ,),0,0(c 分别为I 与三个坐标轴的交点坐标。

则我们称(3.4—1）为平面的截距式方程。

3 空间中直线与平面的位置关系 已知直线l 和平面α的方程为.0:,:00=+++-=-=-D Cz By Ax n z z m y y l x x l α现在我们来讨论①α⊥l ，②α//l ,③l 在α上的充要条件。

因为直线l 的方向向量),,(n m l S =与直线l 平行,平面α的法向量),,(C B A N =与平面α垂直,所以有① .//Cn B m A l N S l ++⇔⇔⊥α ② .0//=++⇔⊥⇔nC mB lA N S l α如果N S ⊥时,l 和α又有公共点，则l 就整个落在α上了．因此有③ l 在α上⎩⎨⎧=+++=++⇔00000D Cz By Ax nC mB lA３.1 空间直线与平面的交角设直线l 和平面α的交角为θ.当α//l 时,0=θ;当α⊥l 时，2πθ=；其他情况下，θ等于l 与它在α上的射影直线'l 所交的锐角.设ϕ是l 的方向向量S 与α的法向量N 之间的夹角，则有 θπϕ-=2或θπϕ+=2θθπϕsin )2cos(cos =-=或.sin )2cos(cos θθπϕ-=+=因此在这两种情况下，都有NS N S ⋅==ϕθcos sin .已知直线l 和平面α的方程为::00=+++-=-=-D Cz By Ax n z z m y y l x x l α设l 和α的交角为θ，则 222222sin CB A nm l Cn Bm Al NS N S ++++++=⋅=θ参考文献[1]吕林根许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006．05．[２］同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社．20０5.05. [3］谢敬然柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013．０5.[４]高红铸王敬庚傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.北京师范大学出版社.2007.0７．0３.。