至善教育讲义学生姓名：曹柯授课老师：付老师科目：初二数学授课时间：13:00 —15:00课次：第 4 次教研组长：教务主任签字：实际时间： 6 月 16 日报名地点：萧山区北干街道工人路897号（新白马公寓旁）咨询热线：0571- 82811302网址：期末复习第一章 二次根式1. 二次根式的定义：非负数a 算术平方根，叫做二次根式，即a .2. 二次根式的二个非负特征：在a 中； a ≥0, a ≥0.3. 二次根式的性质：♦ a a =2)( ( a ≥0)；一个非负数算术平方根的平方等于这个非负数. ♦ a a =2一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值.♦b a ab ⨯= ( a ≥0，b ≥0)；两个非负数积的算术平方根等于这两个非负数算术平方根的积. ♦ba ba = ( a ≥0，b ＞0)；商的算术平方根等于算术平方根的商.4. 最简二次根式：被开方数中不含完全平方因式与分母的二次根式，叫做最简二次根式.5. 同类二次根式：把被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式.6. 二次根式的加减可以归结为：① 先把各二次根式化简成最简二次根式；② 合并同类二次根式（把系数相加，根式不变）.7. 二次根式相乘,只要把被开方数相乘，根式不变.即ab b a =⨯ ( a ≥0，b ≥0)8. 二次根式相除,只要把被开方数相除，根式不变.即baba =( a ≥0，b ＞0) 9．斜坡的铅直高h 与水平长度l 的比叫做坡比即：坡比 i=hl10．分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.分母有理化的依据：平方差公式. 分母有理化有如下两种基本类型：（1）aa b aa ab ab =•= 或ba b a c ba b a b a c ba c ±±=±•±±•=±（2）ba b a c b a b a b a c ba c ±=±•=±2)())(()( 或ba b a c b a b a b a c ba c -=±•=±)())(()(★本章重点：1、二次根式的混合运算、化简求值2、二次根式的应用：勾股定理（折叠问题）、坡比问题.第二章 一元二次方程 1. 基本知识、解法：(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程.(2) 一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0).其中，a 称为二次项系数，ax 2称为二次项；b 称为一次项系数，bx 称为一次项；c 称为常数项.（确定a,b ，c 必须先化为一般式）（3）四种解法 ：直接开平方法两个类型：()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和（如果b < 0，方程就没有实数解.）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方.用公式法的关键在于：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：).04(2422≥--±-=ac b aac b b x 2. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 3．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ， 那么=+1x x ，=⋅x x . （1）若方程的两根互为相反数，则 . （2）若方程的两根互为倒数，则 . （3）若方程其中一个根为0，则 .（4）若方程有两个正实根，则 . （5）若方程有两个负实根，则 . （6）若方程有两根异号，则 . 推论1：如果方程x 2+px+q=0的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q. 推论2：以x ，x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-( x +x )x+ x x =04．补充知识：(1)二次三项式因式分解公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2). 其中x 1，x 2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根.(2)求一元二次方程两根x 1，x 2的对称式的值，常用公式： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2； ②(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 25．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上“二次项系数0a ≠”这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意两个前提：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠.即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.6（1）握手、送礼、流感问题例：参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x 人参加同学聚会.列方程得 .例：某初中毕业班的每一名同学都将自己的相片向其他同学各送一张作为留念，全班共送了2550张相片，设全班有x 名同学，则列出方程： ；例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，若每轮传染中平均一个人传染了x 个人？则列出方程： .（2）增长率问题例：某厂一月份生产化肥500吨，接下去每各月的增长率相同，到三月份生产化肥为720吨，那么该厂第一季度平均月增长率为多少？例：某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则有题意列方程为（ ） （3）面积问题例：用长为35的篱笆围成一个一边靠墙，面积为150的长方形养鸡场，求这个长方形的长和宽.例：用一块长为60，宽为40的长方形铁板，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面是1000的没有盖子的长方体盒子，求小正方形的边长.例：将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价0.5元，其销售量就减少5个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？（5）动点问题例：已知：如图所示，在△ABC中，cm∠BC=B.点P从点A开始沿AB边︒AB,7cm,590==向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果QP,分别从BA,同时出发，P,分别从B A,同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果Q那么几秒后，PQ的长度等于5cm？例：如图，AO=BO=50厘米,OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁从点A以2厘米/秒的速度向点B 爬行，同时另一只蚂蚁从点O以3厘米/秒的速度沿OC方向爬行，问经过几秒两只蚂蚁所在的点与点O组成的三角形的面积为450平方厘米？（6）勾股定理问题例：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会,则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.36912150491283频数（人）身高（cm）153158163168173八年级部分学生身高的频数分布直方图例：一个两位数的两个数字之和为10，且两个数字的乘积为24，这个两位数为多少？第三章 频数及其分布1、频数：我们称数据分组后落在各小组内的数据个数为频数；（结合表中数据）2、频率：每一组频数与数据总数(或实验总次数)的比，叫做这一组数据(或事件)的频率. (1)数据总数频数频率=(2) 频数=频率×数据总数 (3)频率频数数据总数=；3、频数分布直方图的特点：(1)计算极差 —— 一组数据的最大值与最小值的差.(2)确定组距与组数； (3)确定分点；（边界值，组中值） (4)绘制频数分布表；4、画频数分布折线图的主要步骤：①计算极差，确定组距、组数，并将数据分组； ②列出频数分布表，并确定组中值；③根据组中值所在的组的频数在坐标系中描点，依次用线段把它们连成折线. ◆ 注意：①画频数分布折线图，并不一定要先画出频数分布直方图.②画频数分布折线图时，在两侧各加一个虚设的附加组，这两个组都是零频数，所以不会对统计量造成影响，它的作用是使折线与横轴组成封闭折线，给进一步的研究带来方便. 5、各对象的频数之和等于____________,各频率之和等于 ________.（1）被测身高的学生有多少人?组距是多少？（2）自左至右最后一组的频数、频率分别是多少？（3）频数最大的是哪一组？并说明该组的值中值和边界值. （4）估计样本的中位数是多少？ （5）估计样本的平均数是多少？(精确到0.1cm) （6）身高在160cm 以上的有多少人？占总人数的百分之几？(精确到0.1%)第四章命题与证明一：定义:1.一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2.定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来。
二：命题:1. 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．2. 注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。
3.命题的结构:命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成4.命题的分类：真命题和假命题：正确的命题称为真命题，不真确的命题称为假命题。
三：公理，定理：1.经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理。
公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。
2.用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。
四：证明命题的步骤证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程。