17．1 一元二次方程学习目标1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)教学过程一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x(x ＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 一元二次方程的识别下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①y24－y ＝0；②2x2－x －3＝0；③1x2＝3；④x2＝2＋3x ；⑤x3－x ＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x －3x ＝0；⑧x2－x ＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x ＝2x2－ax －3；(2)(a －1)x|a|＋1＋2x －7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a －2)x2＋(a －1)x ＋3＝0，当a －2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)将方程整理得(a －2)x2＋(a －1)x ＋3＝0，∵a －2≠0，∴a ≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；(2)∵|a|＋1＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．∴当a ＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】 一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．(1)x(x －2)＝4x2－3x ；(2)x23－x ＋12＝－x －12；(3)关于x 的方程mx2－nx ＋mx ＋nx2＝q －p(m ＋n≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x2－2x ＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m ＋n)x2＋(m －n)x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，一次项系数为m －n ，常数项为p －q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项c ，则c ＝0.探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm ，宽为15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为xcm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm ，宽为(15－2x)cm.根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x ＋51＝0(0<x ＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．探究点三：一元二次方程的根已知关于x 的一元二次方程x2＋mx ＋3＝0的一个解是x ＝1，求m 的值．解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x ＝1代入原方程，可得关于m 的一元一次方程，解得m 的值即可．解：根据方程的解的定义，将x ＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得m ＝－4，即m 的值为－4.方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法．17.2 一元二次方程的解法第一课时 配方法学习目标1．学会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程；(重点)2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点) 教学过程一、情境导入一块石头从20m 高的塔上落下，石头离地面的高度h (m)和下落时间x (s)大致有如下关系：h ＝5x 2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；(3)(x －2)2＝9; (4)(2y －3)2＝16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x ＝±4，即x1＝4，x2＝－4；(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x ＝±3，即x1＝3，x2＝－3；(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，即x1＝5，x2＝－1；(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即2y －3＝4或2y －3＝－4，即y1＝72，y2＝－12.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x ＋a)2＝b(b≥0)；③(ax ＋b )2＝c (c ≥0)；④(ax ＋b )2＝(cx ＋d )2(|a |≠|c |)．探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】 用配方法解一元二次方程用配方法解下列方程：(1)x2－2x －35＝0；(2)3x2＋8x －3＝0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x ＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．解：(1)移项，得x2－2x ＝35.配方，得x2－2x ＋12＝35＋12，即(x －1)2＝36.直接开平方，得x －1＝±6.所以原方程的根是x 1＝7，x 2＝－5；(2)方程两边同时除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得x 2＋83x ＝1.配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2，即(x ＋43)2＝(53)2.直接开平方，得x ＋43＝±53.所以原方程的根是x 1＝13，x 2＝－3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．【类型二】 利用配方法求代数式的值已知a2－3a ＋b2－b2＋3716＝0，求a －4b 的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0.∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14.∴a －4b ＝32－4×14＝－12.方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x2－5x ＋7的值恒为正．解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0，∴(x －52)2＋34≥34.∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．第二课时 公式法学习目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)2．会用公式法解一元二次方程；(重点) 教学过程一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)且b2－4ac ≥0，试推导它的两个根x1＝－b ＋b2－4ac 2a ，x2＝－b －b2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式方程3x2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项化为3x2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案为3x2－7x －8＝0，3，－7，－8，x ＝7±1456. 方法总结：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．探究点二：用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0；(2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)3x 2－12x ＋3＝0.解：(1)将－3x 2－5x ＋2＝0两边同乘以－1得3x 2＋5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝3，b ＝－12，c ＝3，∴b 2－4ac ＝(－12)2－4×3×3＝108，∴x ＝12±1082×3＝12±636＝2±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.第三课时 因式分解法学习目标1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．(重点) 教学过程一、情境导入我们知道ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，类似的解方程(x ＋1)(x －1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x ＋1＝0或x －1＝0来解，你能求(x ＋3)(x －5)＝0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x ＝0；(2)(x －5)(x －6)＝x －5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x ＋5)＝0，所以x ＝0或x ＋5＝0，所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x －5)(x －6)－(x －5)＝0，所以(x －5)[(x －6)－1]＝0，所以(x －5)(x －7)＝0，所以x －5＝0或x －7＝0，所以原方程的解为x1＝5，x2＝7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0，观察是否有公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解．【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用公式法分解因式解下列方程：(1)x2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.解：(1)原方程可变形为x2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，∴x －3＝0，∴原方程的解为x 1＝x 2＝3；(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x1＝167，x2＝43.方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．17.3一元二次方程的根的判别式教学目标：(一)知识与技能（1）了解掌握一元二次方程的根的判别式；（2）不解方程能判定一元二次方程根的情况；（3）根据一元二次方程的根的情况，探求所需的条件。