第11章平面直角坐标系11、1 平面上点得坐标第1课时平面上点得坐标(一)教学目标【知识与技能】1、知道有序实数对得概念,认识平面直角坐标系得相关知识,如平面直角坐标系得构成:横轴、纵轴、原点等、2、理解坐标平面内得点与有序实数对得一一对应关系,能写出给定得平面直角坐标系中某一点得坐标、已知点得坐标,能在平面直角坐标系中描出点、3、能在方格纸中建立适当得平面直角坐标系来描述点得位置、【过程与方法】1、结合现实生活中表示物体位置得例子,理解有序实数对与平面直角坐标系得作用、2、学会用有序实数对与平面直角坐标系中得点来描述物体得位置、【情感、态度与价值观】通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中得问题得解决与数学得发展之间有联系,感受到数学得价值、重点难点【重点】认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点得坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点、【难点】理解坐标系中得坐标与坐标轴上得数字之间得关系、教学过程一、创设情境、导入新知师:如果让您描述自己在班级中得位置,您会怎么说?生甲:我在第3排第5个座位、生乙:我在第4行第7列、师:很好!我们买得电影票上写着几排几号,就是对应某一个座位,也就就是这个座位可以用排号与列号两个数字确定下来、二、合作探究,获取新知师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直得方向上得数量来表示这个物体得位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但就是,如果(5,3)表示5排3号得话,那么(3,5)表示什么呢?生:3排5号、师:对,它们对应得不就是同一个位置,所以要求表示物体位置得这个实数对就是有序得、谁来说说我们应该怎样表示一个物体得位置呢?生:用一个有序得实数对来表示、师:对、我们学过实数与数轴上得点就是一一对应得,有序实数对就是不就是也可以与一个点对应起来呢?生:可以、教师在黑板上作图:我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合得数轴、水平得数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直得数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点、这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面、师:有了平面直角坐标系,平面内得点就可以用一个有序实数对来表示了、现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系、学生操作,教师巡视、教师指正学生易犯得错误、教师边操作边讲解:如图,由点P分别向x轴与y轴作垂线,垂足M在x轴上得坐标就是3,垂足N在y轴上得坐标就是5,我们就说P点得横坐标就是3,纵坐标就是5,我们把横坐标写在前,纵坐标写在后,(3,5)就就是点P得坐标、在x轴上得点,过这点向y轴作垂线,对应得坐标就是0,所以它得纵坐标就就是0;在y轴上得点,过这点向x轴作垂线,对应得坐标就是0,所以它得横坐标就就是0;原点得横坐标与纵坐标都就是0,即原点得坐标就是(0,0)、教师多媒体出示:师:如图,请同学们写出A、B、C、D这四点得坐标、生甲:A点得坐标就是(-5,4)、生乙:B点得坐标就是(-3,-2)、生丙:C点得坐标就是(4,0)、生丁:D点得坐标就是(0,-6)、师:很好!我们已经知道了怎样写出点得坐标,如果已知一点得坐标为(3,-2),怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢?教师边操作边讲解:在x轴上找出横坐标就是3得点,过这一点向x轴作垂线,横坐标就是3得点都在这条直线上;在y轴上找出纵坐标就是-2得点,过这一点向y轴作垂线,纵坐标就是-2得点都在这条直线上;这两条直线交于一点,这一点既满足横坐标为3,又满足纵坐标为-2,所以这就就是坐标为(3,-2)得点、下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系,并描出A(2,-4),B(0,5),C(-2,-3),D(-5,6)这几个点、学生动手作图,教师巡视指导、三、深入探究,层层推进师:两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域,从x轴正半轴开始,按逆时针方向,把这四个区域分别叫做第一象限、第二象限、第三象限与第四象限、注意:坐标轴不属于任何一个象限、在同一象限内得点,它们得横坐标得符号一样吗?纵坐标得符号一样吗?生:都一样、师:对,由作垂线求坐标得过程,我们知道第一象限内得点得横坐标得符号为+,纵坐标得符号也为+、您能说出其她象限内点得坐标得符号吗?生:能、第二象限内得点得坐标得符号为(-,+),第三象限内得点得坐标得符号为(-,-),第四象限内得点得坐标得符号为(+,-)、师:很好!我们知道了一点所在得象限,就能知道它得坐标得符号、同样得,我们由点得坐标也能知道它所在得象限、一点得坐标得符号为(-,+),您能判断这点就是在哪个象限吗?生:能,在第二象限、四、练习新知师:现在我给出几个点,您们判断一下它们分别在哪个象限、教师写出四个点得坐标:A(-5,-4),B(3,-1),C(0,4),D(5,0)、生甲:A点在第三象限、生乙:B点在第四象限、生丙:C点不属于任何一个象限,它在y轴上、生丁:D点不属于任何一个象限,它在x轴上、师:很好!现在请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在上面描出这些点、学生作图,教师巡视,并予以指导、五、课堂小结师:本节课您学到了哪些新得知识?生:认识了平面直角坐标系,会写出坐标平面内点得坐标,已知坐标能描点,知道了四个象限以及四个象限内点得符号特征、教师补充完善、教学反思物体位置得说法与表述物体得位置等问题,学生在实际生活中经常遇到,但可能没有想到这些问题与数学得联系、教师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体得位置,让学生参与到探索获取新知得活动中,主动学习思考,感受数学得魅力、在教学中我让学生由生活中得实例与坐标得联系感受坐标得实用性,增强了学生学习数学得兴趣、第2课时平面上点得坐标(二)教学目标【知识与技能】进一步学习与应用平面直角坐标系,认识坐标系中得图形、【过程与方法】通过探索平面上得点连接成得图形,形成二维平面图形得概念,发展抽象思维能力、【情感、态度与价值观】培养学生得合作交流意识与探索精神,体验通过二维坐标来描述图形顶点,从而描述图形得方法、重点难点【重点】理解平面上得点连接成得图形,计算围成得图形得面积、【难点】不规则图形面积得求法、教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们学习了平面直角坐标系得概念,也学习了已知点得坐标,怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来、下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,并在上面标出A(5,1),B(2,1),C(2,-3)这三个点、学生作图、教师边操作边讲解:二、合作探究,获取新知师:现在我们把这三个点用线段连接起来,瞧一下得到得就是什么图形?生甲:三角形、生乙:直角三角形、师:您能计算出它得面积吗?生:能、教师挑一名学生:您就是怎样算得呢?生:AB得长就是5-2=3,BC得长就是1-(-3)=4,所以三角形ABC得面积就是×3×4=6、师:很好!教师边操作边讲解:大家再描出四个点:A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2),并将它们依次连接起来瞧瞧形成得就是什么图形?学生完成操作后回答:平行四边形、师:您能计算它得面积吗?生:能、教师挑一名学生:您就是怎么计算得呢?生:以BC为底,A到BC得垂线段AE为高,BC得长为4,AE得长为3,平行四边形得面积就就是4×3=12、师:很好!刚才就是已知点,我们将它们顺次连接形成图形,下面我们来瞧这样一个连接成得图形:教师多媒体出示下图:师:如果我们取x轴正半轴上得点为起始点,按逆时针顺序,您能说出这个图形就是由哪些点顺次连接成得吗?生:能、(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4)……师:很好!您怎样向另一个同学描述这样一个八角星,让她画出来呢?生:在坐标系里画出点(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4),……,然后把它们顺次连接成一个封闭得图形、三、练习新知师:我们现在已经建立了点与图形之间得联系,能用点来表示图形了、我们来瞧这样一个例子,已知△ABC 三个顶点得坐标分别为A(-1,1),B(4,1),C(6,4),求△ABC得面积、教师找一名学生板演,其余学生在下面做,然后集体订正得到:由图可知,△ABC得面积S=×5×3=7、5、四、课堂小结师:我们今天学习了哪些新知识?有什么收获?生:我们今天学了由点连接成得图形,求封闭图形得面积、教师补充完善、教学反思本节课开始时我给出三点得坐标,让学生自己建立平面直角坐标系,并且在其中描出这些点,既复习了上节课得内容,又引出了本节课所要讲得知识、在画出三角形与平行四边形后,我引导学生去利用网格计算封闭图形得面积、通过八角星得例子引导学生自己去学习找点得位置与它们得坐标之间得关系,形成数形结合得思想,用数字特征去描述它们之间得关系、11、2 图形在坐标系中得平移教学目标【知识与技能】研究在同一坐标系中,图形得平移与点得坐标变化之间得关系,发展学生得数形结合思想与意识、【过程与方法】经历图形得平移过程,探究图形得平移与点得坐标变化之间得关系、【情感、态度与价值观】让学生体验探究图形得平移与坐标变化之间得关系,感受数学与图形得平移、物体得运动等有实际意义得事情之间得关联,体会数学在现实生活中得用途、重点难点【重点】经历图形平移与坐标变化得过程,发展学生得数形结合思想与意识、【难点】归纳出图形平移与坐标变化之间得关系、教学过程一、创设情境,导入新知师:在上一节课,我们把平面直角坐标系中得点连接成了封闭得图形,现在已知A(-2,4),B(-4,3),C(1,1),用线段把这三点连接成一个封闭图形,就是什么形状得图形?生:三角形、师:对、这节课我们把这个图形在同一坐标系中平移,探究平移后得顶点坐标与原顶点坐标之间得关系、教师板书课题、二、合作探究,获取新知教师边操作边讲解:我们把这个三角形在平面直角坐标系中向右平移2个单位,瞧瞧得到得图形与原图形得顶点坐标之间会有什么关系、生:横坐标增加了2,纵坐标不变、师:对、若就是向左平移2个单位呢?坐标会有什么变化?生:横坐标减2,纵坐标不变、师:很好!若把这个三角形向上平移3个单位,这个三角形得顶点坐标又有什么改变?生:横坐标不变,纵坐标加3、师:对、向下平移3个单位呢?生:横坐标不变,纵坐标减3、师:同学们回答得很好!已知一个图形得顶点坐标与它发生得位移,即它移动得方向与距离,我们根据刚才得出得结论,可以写出它位移后得顶点得坐标,画出它位移后得图形、如果已知位移前得图形与位移后得图形,您能写出它得位移过程吗?教师边操作边讲解:已知平移前得三角形三个顶点得坐标分别就是(-3,4),(-2,7),(1,2),平移后顶点得坐标就是(0,2),(1,5),(4,0),请同学们写出它平移得过程、教师找一名学生板演,其余同学在下面写、师:我们可以分别瞧横、纵坐标得变化,横坐标都增加了3,所以在沿x轴方向上发生了怎样得位移?生:向右平移了3个单位、师:对,您们观察一下纵坐标得变化,说一说它在沿y轴方向上发生了怎样得位移?生:纵坐标减少了2,向下平移了2个单位、师:对、所以我们得出它位移得过程就是先向右平移3个单位再向下平移2个单位,或者就是先向下平移2个单位再向右平移3个单位、三、例题讲解【例】如图,将△ABC先向右平移6个单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1、写出各顶点变动前后得坐标、解:用箭头代表平移,则有:A(-2,6)→(4,6)→A1(4,4),B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2),C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1)、教师多媒体出示:点(x,y)向平移a(a>0)个单位⇔平移后得坐标为师:任意一点(x,y)向某一个方向平移后点得坐标会就是怎样得呢?请同学们思考以上四个小题、学生思考交流后,得到结论:点(x,y)向左平移a(a>0)个单位⇔平移后得坐标为(x-a,y);点(x,y)向右平移a(a>0)个单位⇔平移后得坐标为(x+a,y);点(x,y)向上平移a(a>0)个单位⇔平移后得坐标为(x,y+a);点(x,y)向下平移a(a>0)个单位⇔平移后得坐标为(x,y-a)、四、练习新知师:我们现在来做一道题目,练习一下、教师多媒体出示:已知三角形ABC,它得三个顶点A、B、C得坐标分别为(-5,3),(-2,4),(0,2),它平移后得三角形为△A'B'C',A'点得坐标就是(3,-1),求B'点与C'点得坐标、教师找一名学生板演,其她同学在下面做,然后集体订正得到:B'点得坐标为(6,0),C'得坐标为(8,-2)、五、课堂小结师:您今天学习了哪些新知识?有什么收获?生:学习了图形得平移与位移变化之间得关系、师:您还有哪些疑问?学生提问,教师解答、教学反思图形由静到动,静时我们用顶点坐标来描述它,动后我们也可以描述这个过程、在学生得前置性学习部分,通过让学生观察把一个已知得三角形向右平移后得到新得三角形,并比较平移前后三个顶点得坐标得变化,使学生亲身经历了知识得形成过程,不但改变了学生死记硬背得学习方式,还培养了她们自主探究、合作交流等学习习惯,进一步激发了学生学习数学得兴趣、本节课就是在学生学习了平移得概念与性质得基础上,探究图形在坐标系内平移得变化规律得、主要就是引导学生运用分类思想,依次经过点与图形得平移得观察、画图、猜想、验证、归纳、比较、分析等活动,最终探究出点得坐标变化与点平移得关系以及图形上各个点得坐标变化与图形平移得关系、第12章一次函数12、1 函数第1课时函数(一)教学目标【知识与技能】1、掌握常量、变量得概念、2、能辨别一个关系中得常量与变量、自变量与因变量、3、能识别一个关系式就是不就是函数、【过程与方法】1、经历观察、分析、思考、总结得过程,发展观察推理能力与清晰地表达自己观点得能力、2、感知变量对数学问题得描述、研究得作用、3、理解一个简单得实际应用问题得数学表达方式,使学生将实际问题与数学相联系、【情感、态度与价值观】1、通过让学生共同思考实际生活中得例子让学生参与到教学活动中来,培养学生得集体意识、2、让学生自己思考贴近生活得例子,激发学生得学习兴趣、3、让学生感受数学与生活息息相关、4、通过变量、常量概念得引入,让学生意识到数学就是在不断发展得,意识到事物就是不断发展变化得、重点难点【重点】理解常量、变量得概念,判断一个数量关系就是否就是函数、【难点】理解函数得概念、教学过程一、创设情境,导入新知师:您还记得汽车在匀速行驶时,路程与速度、时间之间得关系吗?生:记得,路程=速度×时间、师:好、我们现在来瞧这样一个问题、教师多媒体出示(问题1):汽车以50千米/时得速度匀速行驶,它行驶得路程用s表示,时间用t表示,根据刚才那个公式,您能得到s与t得什么数量关系?生:s=50t、师:对、这里面有哪些量?生:路程、速度与时间、师:这道题中,速度就是具体得一个量,就是多少呢?生:50、师:对、这里面有三个量:路程、50与时间、二、合作探究,获取新知教师多媒体出示(问题2):时间t/min01234567…海拔高度18001830186018901920195019802010…h/m同学们瞧这个图与相应得表格,上面反映得有几个量?学生思考后回答:两个、师:哪两个?生甲:时间、生乙:气球上升到达得海拔高度、师:同学们回答得很好!您们再观察一下,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米?生:30米、师:您能计算出当t=3min与t=6min时热气球到达得海拔高度吗?生:能,3分钟时为1 890米,6分钟时为1 980米、师:很好、教师多媒体出示(问题3):师:在这个问题中,有哪几个量?生:两个,时间与负荷、师:您能说出这一天中任意一个时刻得负荷就是多少吗?如果能得话,4、5h时与20h时得负荷分别就是多少?学生测量后回答:能、4、5h时就是10×103兆瓦,20h时就是17×103兆瓦、师:用科学记数法怎样表示?生:4、5h时就是1、0×104兆瓦,20h时就是1、7×104兆瓦、师:同学们回答得很好!您们就是怎么找到对应得数据得呢?生:根据时间对应得负荷得到得、师:很好!这一天得用电高峰与用电低谷时得负荷分别就是多少?它们各就是在什么时刻达到得?学生测量后回答:用电高峰时得负荷就是1、8×104兆瓦,在13、5h时达到;用电低谷时得负荷就是1、0×104兆瓦,在4、5h时达到、师:我们再来瞧这样一个例子、教师多媒体出示(问题4):汽车在行驶过程中由于惯性得作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住、某型号得汽车在路面上得刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式:s=这个式子中涉及了哪几个量?生甲:刹车距离、车速、生乙:256、师:当车速为60km/h时得刹车距离就是多少呢?结果保留一位小数、学生计算后回答:14、1km、师:在第一个问题中,速度一直就是50千米/时,我们把不变得50称为常量;变化得s与t称为变量,其中t就是自变量,s就是随着时间t得变化而变化得,s就是因变量、下面我们瞧瞧其她三个问题中,哪些就是常量,哪些就是自变量,哪些就是因变量?生甲:第二个问题中,30就是常量,时间就是自变量,海拔高度就是因变量、生乙:第三个问题中,没有常量,时间就是自变量,负荷就是因变量、生丙:第四个问题中,256就是常量,车速就是自变量,刹车距离就是因变量、师:很好!自变量与因变量之间有没有对应得关系呢?生:有、师:由前面得探究,我们能得出自变量与因变量在数量上有怎样得对应关系?生:自变量取一个值,根据它们之间得关系,因变量就有相应得一个值、师:很好!教师板书并口述定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许得取值范围内得每一个值,y都有唯一确定得值与它对应,那么就称x就是自变量,y就是x函数、师:在这个定义中,我们要注意“唯一确定”这四个字,“唯一”要求只有一个,“确定”要求它们得关系就是确定得,不能就是未明确得、模糊得、根据函数得定义,您能说出以上四个问题中哪一个量就是哪一个量得函数吗?生甲;问题1中行驶路程s就是行驶时间t得函数、生乙:问题2中热气球到达得海拔高度h就是时间t得函数、生丙:问题3中负荷y就是时间t得函数、生丁:问题4中刹车距离s就是车速v得函数、师:大家回答得很好!三、练习新知师:我们现在来瞧这样一个例子、教师多媒体出示并口述:下列等式中,y就是x得函数得有、①x+y=0;②y=;③y=x2;④x=y2;⑤y=|x|;⑥ x=|y|;⑦y=;⑧y2=4x、学生思考后回答,然后集体订正、y就是x得函数得有①②③⑤⑦、四、课堂小结师:您今天学习了哪些新知识?有什么收获?生:学习了常量、变量、自变量、因变量、函数、教师补充完善、教学反思课程改革得关键就是教师观念得改变,重视学生得主体作用,强调让学生经历学习得过程,让学生真正成为学习得主人、教师不应该仅仅就是课程得实施者,而且应该成为课程得创造者与开发者、通过让学生回顾小学学过得一个公式,引入本节课,同时带领学生更深入地认识两个量之间得关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念、而函数就是两个变量之间得关系,它们之间就是怎样得一种关系呢?对自变量取得一个值,因变量有唯一确定得值与之对应、这点要向学生讲清楚,学生理解了就能判断一个变量就是不就是另一个变量得函数、第2课时函数(二)教学目标【知识与技能】1、会用列表法表示函数、2、会将一个简单得实际应用问题抽象成函数、3、会求函数自变量得取值范围、4、给定自变量,能求出函数值、【过程与方法】1、经历用列表法与解析法表示函数得过程、2、通过将一个简单得实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论与实际相联系、【情感、态度与价值观】1、通过让学生选用合适得方法表示两个变量之间得关系,让学生发挥主观能动性,独立思考、2、让学生参与到教学活动中来,激发学生得参与感与集体意识、3、让学生观察、描述发现得问题,培养学生表述自己思想与归纳概括、收集信息得能力、4、让学生思考贴近生活得例子,激发学生得学习兴趣、重点难点【重点】用解析法表示函数,求函数自变量得取值范围、【难点】建立一个实际问题得数学模型、教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课,我们学习了一个重要得概念——函数,同学们还记得它得内容吗?学生回答、师:大家说得很好,函数就是一个重要得数学概念,这节课我们将更深入地研究它、二、合作探究,获取新知教师多媒体出示上节课得问题2:上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到得海拔高度与时间数值之间存在得关系,这种通过列出自变量得值与对应得函数值得表格来表示函数关系得方法叫做列表法、学生熟记、教师多媒体出示上节课得问题4、这就是另一种表示函数得方法,就是用s与v之间得函数关系式来表示得,这种用数学式子表示函数关系得方法叫做解析法、您从中读出了什么信息?您能把问题2中表格反映得情况用语言叙述一下吗?学生思考后回答:能、热气球得初始海拔高度就是1 800米,每分钟上升30米、师:很好!它就是匀速上升得吗?生:就是、教师多媒体出示上节课中得问题1、您能仿照这个匀速运动得例子写出热气球到达得海拔高度h与时间t之间得关系吗?注意:这里h就是初始高度与上升高度得与,上升高度相当于热气球上升得路程、学生思考后回答:能、h=1 800+30t、师:很好!一般地,我们按自变量得降幂排列,就就是写成h=30t+1 800、这说明同样一个问题,它得描述方式可以不止一种,我们可以选用适当得方式来表示,也可以把一种表示方式描述得问题用另一种表示方式来写、教师多媒体出示上节课介绍得函数得定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内得每一个值,y都有唯一确定得值与它对应,那么就说x就是自变量,y就是x得函数、师:同学们,这里要求在自变量得允许范围内,就就是说自变量就是有范围得,在哪些情况下自变量不就是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过得式子中哪些式子得取值有限制?生:分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零、师:对、所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量得取值范围、在实际应用中,除了要保证这个式子有意义,还要求它有实际意义、三、练习新知教师多媒体出示:【例1】求下列函数中自变量x得取值范围:(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;(3)y=; (4)y=、解:(1)x为全实体实数、(2)x为全实体实数、(3)x≠2、(4)x≥3、【例2】当x=3时,求下列函数得函数值:(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;(3)y=; (4)y=、解:(1)当x=3时,y=2x+4=2×3+4=10、(2)当x=3时,y=-2x2=-2×32=-18、(3)当x=3时,y===1、(4)当x=3时,y===0、。