v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
A
F dx
2
6t
3
t
2dt
9
t
4
2
36 J
02
40
9
§3.2 动能和动能定理
设质点m在力的作用下沿曲线从 a点移动到b点
元功：
dA F dr F cos ds
F
cos
maτ
m dv dt
A非保内 Ep2 Ep1
A外 A非保内 Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
25
机械能
E Ek Ep
A外 A非保内 E2 E1
质点系的功能原理
质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力 所做功的代数和。
26
3-4-3 机械能守恒定律
如果 A外 0 ， A非保内 0
解 （1）小球和地球构成系统 机械能守恒。即在H处和圆
形轨道顶点处机械能相等：
mgH 1 mv2 mg2R 2
man
m v2 R
mg
H 5 R 2
mg R
O
28
（2）由于H较小，故设在h处小球脱离轨道，计算出h。
mg2R mgh 1 mv2
man
m v2 R
2
mg sin
N
因轨道的支撑力N=0
保守力的特点：保守力沿任何闭合路径做功等于零。
即
F
dr
0
a
设保守力沿闭合路径acbda做功
按保守力的特点： Aacb Aadb
d
c
Aacb Abda
A Aacb Abda Aacb Aac置所确定的系统能量 保守力做的功与势能的关系： 物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等于 质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Aab。
20
保守力功与势能的积分关系： A Ep
保守力功与势能的微分关系： dA dEp
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
Ep x
dx
Ep y
dy
Ep z
dz
Fx
Ep x
Fy
Ep y
Fz
Ep z
保守力的矢量式：
F
Ep x
i
Ep
y
j
Ep
z
k
结论:保守力沿各坐标方向的分量,在数值上等于系统的势能沿
平均功率： P A t
单位：W = J/s
瞬时功率： P lim A dA
P
dA
t 0
F
t
dr
dt
F
v
dt dt
6
例1 质量为m的小球系于长度为R的细绳末端,细绳
另一端固定在点A,将小球悬挂在空间.现小球在水平
推力F 的作用下,缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直
方向成角的位置.求水平推力F所做的功.
元功：
dA
F
dr
dr
F
b
A
b F dr
b
F
cos
dr
a
a
a
3
合力的功：
A
b F dr
a
b a
F1 F2 Fn
dr
b a F1 dr
b a
F2
dr
b a Fn dr
A A1 A2 An
结论： 合力对质点所做的功等于每个分力对质点做功之 代数和。
32
2. 第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度 （1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。
机械能守恒：
1 2
mv22
G
m0m R
Ek
Ep
0
解得
v2
2Gm0 R
2gR
2v1 11.2103 m/s
33
3. 第三宇宙速度
第3章
功和能
1
§3.1 功和功率
3-1-1 功
功是反映了力对空间的累积作用。
功的定义：
在恒力
F
的 作用下，物体
发移生方了向位的移分力r与，位则移把力r在的位乘
z
F
r
r1
O
r2
F
y
积称为功。
x
2
A
F
Δr cosθ
F
Δr
国际单位：焦耳（J ）
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中,变力
F
所做的功.
35
相应方向的空间变化率的负值,其方向指向势能降低的方向.
21
§3.4 机械能守恒定律
3-4-1 质点系的动能定理
由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。
Fi
质点的动能定理：
Ai外 Ai内 Ek2i Ek1i
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Ai内 Ai外 Ek2i Ek1i
F内i
i 1
O
m1
r2
drF112r12
F21
dr2
m2
结论：
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其 中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动 的位移所做的功。
24
3-4-2 功能原理
质点系的动能定理：
A内 A外 Ek2 Ek1
其中
A内 A保内 A非保内
A外 A保内 A非保内 Ek2 Ek1
4
在直角坐标系Oxyz中
F
Fxi
Fy
j
Fz k
r xi yj zk
b
A a F dr
b
a Fxi Fy j Fzk dxi dyj dzk
b
A a Fxdx Fydy Fzdz
5
3-1-2 功率
功率是反映做功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所做的功。
dr
b
F
a
dA F cos ds m dv ds mvdv
dt
10
总功：A
dA
v2 v1
mvdv
1 2
m(v
2 2
v12 )
定义质点的动能：
Ek
1 2
mv2
单位：J
质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
A
Ek 2
Ek1
1 2
mv22
1 2
mv12
11
例3 一链条长l,质量m,用手控制链条放在桌面上, 如图,下垂长度为l/2,链条与桌面摩擦系数为,松开手 后链条从静止开始向下滑动.求:（1）链条离开桌面 时，摩擦力做的功;（2）离开桌面时链条的速率.
解 设单位长度的质量为 始末两态的中心分别为C和C′
机械能守恒：
2lg l 2lgl 1 2lv2
2
2
O
Cl
O
C 2l
解得 v lg
30
§3.5 宇宙速度
1. 第一宇宙速度
m
地球半径为R，质量为m0，卫星 质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，其
发射速度。
m0
R
设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。
解 推力F,绳张力FT,重力mg 三力平衡
A R
x方向： F FT sin 0
y方向： FT cos mg 0 F mg tan
F FT F
y mg
小球在移动过程中，是变力做功
x
O
7
元功：
dA
F
dr
F cos
ds
FR cos d
变力F做的总功：
A dA 0 FR cos d
解 （1）摩擦力做的功：
l2
O
Af
Ff
dx
l mg (l x)dx
l2
l
l2
mgl
重力做的功：
Ag G
dx
8
l
(
l2
x l
m)gdx
3mgl 8
x
动能定理：
Ag
Af
1 mv2 2
v 1 (3 )gl
2
12
例4 一质量m = 2kg的物体由静止开始，沿四分之一 圆周从A滑到B。已知R=4m，设物体滑到B处的速度 为v =6m/s，求在下滑过程中摩擦力所做的功。
宇宙飞船脱离地球和太阳引力而必须具有的发射速度
脱离太阳的过程中机械能守恒
1 2
mv32
G
ms m r
0
ms=1.99×1030kg,r=1.496×1011m
v3 42.2 103 m/s
地球绕太阳的公转速度为29.8×103m/s
v3 (42.2 29.8) 103 m/s 12.4 103 m/s
c
dl
另一质量为m的质点在m0的引 r 力场中从a点运动到b点。
F
G
m0m r2
er
A
rb
ra
G
m0 m r2
er
dl
er
ra m0 dl
dl
dr r dr
rb cos dr
b
A
Gm0 m
rb dr r ra 2
Gm0
m
1 ra
1 rb
万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与
E Ek Ep 恒量
机械能守恒定律 当系统只有保守内力做功时，质点系的总机械能保持
不变。 注意：机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性 系。在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械 能不一定守恒。