作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ahSABC21=∆B图1例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得，因此a=2y x =+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以，因此直线AB 为，当x =－1时，20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得y =+，因此点C 的坐标为（－1/3）.y =（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D.2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎭⎣⎦=+⎫=+⎪⎭当x =－时，△PAB ，此时.121,2P ⎛- ⎝例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ，若存在，求出P 点的CAB S ∆89坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A （3,0）代入解析4)1(21+-=x a y 式求得所以设直线AB 的解析1-=a 324)1(221++-=+--=x x x y 式为：由求得B 点的坐标为 把b kx y +=23221++-=x x y )3,0(xCy BD1，代入中解得：所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙)0,3(A )3,0(B b kx y +=23,1=-=b k 32+-=x y (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2(平方单位)32321=⨯⨯=∆CAB S (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则由S △PAB =S △CAB 得化简x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=89389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 得：解得，将代入中，解得P 点坐标为091242=+-x x 23=x 23=x 3221++-=x x y )415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴2y x bx c =-++10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为：223y x x =--+ (2)存在。

理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴对称1x =- ∴直线BC 与的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵1x =-223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为： Q 点坐标即为的解3y x =+13x y x =-⎧⎨=+⎩∴∴Q(－1，2)12x y =-⎧⎨=⎩（3）答：存在。

理由如下：设P 点∵若2(23) (30)x x x x --+-<<，92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形BPCO S 四边形有最大值，则就最大，∴BPC S ∆BPE BPCO PEOC S S S ∆+R t 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++＝＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++233927(2228x -+++当时，32x =-最大值＝ ∴BPCO S 四边形92728+BPC S ∆最大＝ 9279272828+-=当时，32x =-∴点P 坐标为215234x x --+=315( )24-，同学们可以做以下练习：1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；43（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．图① 图②3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP/C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+303c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b 所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ），P P/交CO 于E 若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP /则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23y =23-．∴322--x x =23- 解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） 图11∴P 点的坐标为（2102+，23-）（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为．25．（2015绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．【解析】（1）由题意，得 解得，b =－1．⎩⎨⎧=++=+-,0424,04416b a b a 21-=a 所以抛物线的解析式为，顶点D 的坐标为（－1，）．4212+--=x x y 29（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．132322=+DMBM 25)429(122=-+=CD∴ △CDH 的周长最小值为CD + DR + CH =．21335+设直线BD 的解析式为y = k1x + b ，则 解得 ，b1 = 3．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 231-=k 所以直线BD 的解析式为y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC ∕2 =，Rt △CEG ∽△COB ，23-55得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．同理可求得直线EF 的解析式为y =x 21+．23联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （，）．43815（3）如图所示，设K （t ，），xF ＜t ＜xE ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．4212+--t t 则 KN = yK －yN =－（t +）=．4212+--t t 21232523212+--t t 所以 S △EFK = S △KFN + S △KNE =KN （t + 3）+KN （1－t ）= 2KN = －t 2－3t + 5 =－（t +）2 +．212123429即当t =－时，△EFK 的面积最大，最大面积为，此时K （－，）．2342923835平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1．有一边在坐标轴上：例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求△ABC 的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC 的边BC 在y 轴上，由图形可得BC ＝4，点A 到BC 边的距离就是A 点到y 轴的距离，也就是A 点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.2．有一边与坐标轴平行：例2：如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.3．三边均不与坐标轴平行：例3：分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.4．三角形面积公式的推广：过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出1一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例4：已知：直线l 1：y=﹣2x+6与x 轴交于点A ，直线l 2：y=x+3与y 轴交于点B ，直线l 1、l 2交于点C ．(Ⅰ)建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C 点的坐标；(Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC 的面积．5．巩固练习：（1）已知：如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点、点，与轴交于b kx y +='k y x=x A B x点，其中点的坐标为（－2，4），点的横坐标为－4.C A B （Ⅰ）试确定反比例函数的关系式；（Ⅱ）求△的面积．AOC（2）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中my x=0x >m (14)A ，()B a b ，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．1a >A x C B y D AD DC CB 若的面积为4，求点的坐标；ABD △B（3）已知，直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°．且点P （1，a ）为坐标系中的一个动点．（Ⅰ）求三角形ABC 的面积S △ABC ；（Ⅱ）请说明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；（Ⅲ）要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．。