2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题（文科）详解
满分150分;考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的最小正周期是．
考点：三角恒等变形、三角函数的周期
解答：因为 ，所以 .
难度：容易题
设常数 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
考点：反函数、函数的奇偶性
解答：（1）因为 ，所以 ，得 或 ，且 ．
因此，所求反函数为 ．
（2）①当 时， ，定义域为 ，故函数 是偶函数；
②当 时， ，定义域为 ，
，故函数 为奇函数；
③当 且 时，定义域为 关于原点不对称，
(A) (B) (C) (D)
考点：向量的数量积、向量的投影
解答：结合图形，观察 在 上的投影即可： 在 上的投影相同； 在 上的投影相同； 在 上的投影相同；故 的不同值的个数为3，选C
难度：中等题
18．已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关于 和 的方程组 的解的情况是（）
(A) 无论 如何，总是无解(B) 无论 如何，总有唯一解
(C) 存在 ，使之恰有两解(D) 存在 ，使之有无穷多解
考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法
解答：把 代入直线 得 ，即 .
同理可得 .则 是方程组 的解.
若 不是方程组 的唯一解，
则方程组 有无数解则 ，与已知矛盾
综上，方程组 总有唯一解，选B.
难度：较难题
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
6．若实数 满足 ，则 的最小值为．
考点：基本不等式
解答： ，即
难度：容易题
7．若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．
考点：圆锥的侧面展开图
解答：如图：
难度：容易题
8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．
考点：组合、概率
解答：未来的连续 天中随机选择 天的所有情况有 种；未来的连续 天中选择的 天恰好为连续 天的所有情况有 种；则所求概率为
难度：中等题
14．已知曲线 ，直线 ．若对于点 ，存在 上的点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为．
考点：圆的方程、能成立问题
解答：∵曲线 ，即 ，∵ ，∴点 即为 中点；设 ，∵ ，则 ，
2．若复数 ，其中 是虚数单位，则 ．
考点：复数的四则运算，共轭运算
解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即
难度：容易题
3．设常数 ，函数 ．若 ，则 ．
考点：解方程、求函数值
解答：由
难度：容易题
4．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．
考点：圆锥曲线的标准方程
解答：知抛物线的焦点坐标为 ，则其准线方程为：
难度：容易题
5．某校高、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．
考点：分层抽样
解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题
故函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
难度：容易题
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长35米， 长80米．设点 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 ．
（1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
19．（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 ，其表面展开图是三角形 ，如图，求 的各边长及此三棱锥的体积 ．
考点：棱锥的体积、空间想象能力
解答：依题意： 是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体 （如图）.
设顶点 在底面 内的投影为 ，连接 ，则
为 的重心， 底面 .
难度：容易题
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
考点：三视图
解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个
长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.
难度：容易题
9．设 若 是 的最小值，则 的取值范围为．
考点：函数的单调性及最值
解答：
难度：中等题
10．设无穷等比数列 的公比为 ，若 ，则 ．
考点：无穷等比数列各项的和
解答：
难度：中等题
11．若 ，则满足 的 的取值范围是．
考点：幂函数的单调性
解答： ∴其定义域为
又 是增函数， 是减函数， 是增函数，
又 ， ，即为 ，
难度：中等题
12．方程 在区间 上的所有的解的和等于．
考点：三角方程
解答：
难度：中等题
13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 天中随机选择 天进行紧急疏散演练，则选择的 天恰好为连续 天的概率是（结果用最简分数表示）．
∵点 在曲线C上，∴
难度：较难题
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（）
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件
考点：充分条件、必要条件
解答：必要非充分条件，选B
难度：容易题
16．已知互异的复数 满足 ，集合 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
考点：集合的相等、复数范围内1的立方根
解答：⑴若 则 （舍）；⑵若 则 ，
那么 （舍）或 （舍）或 或
综合上述， .选D
难度：中等题
17．如图，四个边长为 的小正方体排成一个大正方形， 是大正方形的一条边， 是小正方形的其余顶点，则 的不同值的个数为（）
（2）施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ，求 的长（结果精确到0.01米）．
考点：解斜三角形
解答：（1）设 ，则 .因 ，所以 ，即 ， （米）
（2）在 中，由已知， ， ，
由正弦定理得 ，解得 （米）．
在 中，由余弦定理得 ， 解得 （米）．所以， 的长约为26.93米．
难度：中等题
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．