2０14年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题(文科)及参考答案 满分150分;考试时间１20分钟.一、填空题（本大题共有1４题，满分５6分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3．设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =，则(1)f = .4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .５.某校高一、高二、高三分别有学生16０0名、1200名、80０名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 ．6．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 . ７．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .９．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 . 1０.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若)(431lim n n a a aa +++=∞→ ，则q = ．１１.若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 ．1３.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示）.14．已知曲线24:y x C --=,直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分２0分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 1５．设,a b ∈R ,则“4a b +>”是“2a >且2b >”的( ）(A) 充分非必要条件 ﻩﻩ（B ） 必要非充分条件 (C) 充分必要条件（D ） 既非充分又非必要条件１6．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =,则a b +=（ )(Ａ） 2ﻩ (B) 1 (C) 0(Ｄ) 1-1７．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形,AB 是 大正方形的一条边,)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点, 则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为( ）(A) 7 (B) 5 (C) 3(D) 118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解ﻩ (Ｂ) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解 （C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解 ﻩ（D) 存在12,,k P P ,使之有无穷多解三、解答题(本大题共有5题,满分7４分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. １9．（本题满分１2分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .20．（本题满分14分)本题共有2个小题，第１小题满分６分,第2小题满分８分．设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=;（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分1４分)本题共有2个小题,第1小题满分6分，第２小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米，CB 长80米.设点A B 、在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为βα和． (1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.0１米）? (２)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.1218.45αβ==,,求CD 的长（结果精确到0.0１米).22.(本题满分１6分)本题共有3个小题，第1小题满分3分,第２小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++.若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证;点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔;（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；(3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线.2３.（本题满分18分)本题共有3个小题，第１小题满分３分，第2小题满分６分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n N ∈，11a =.（1)若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围; (２）设{}n a 是等比数列，且11000m a =,求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(３）若10021,,,a a a 成等差数列,求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有1４题,满分56分) 1．2π２．6 3．3 4.2x =- 5.706. ７．1arcsin 38．24 9．(],2-∞ 10.1211.(0,1) 12．73π 13.1151４.[2,3]二、选择题(本大题共有4题,满分2０分）15.B １６.D 17．C 18．B三、解答题(本大题共有5题,满分７4分）１9．(本题满分１2分）解：在123PP P ∆中,13P A P A =,23P C P C =,所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. 同理,234P P =,314P P =.所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ,所以AQ =，PQ ==从而,13ABC V S PQ ∆=⋅=．2０.(本题满分14分)本题共有2个小题，第１小题满分6分,第２小题满分８分.解：（1)因为2424x x y +=-,所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-．因此,所求反函数为()1241()log 1x fx x -+=-,()(),11,x ∈-∞-+∞.(2)当0a =时,()1f x =,定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数;当1a =时,21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞,2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数,也不是偶函数.２1．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分６分,第2小题满分8分． 解：(１)记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80hβ=， 所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此,CD 的长至多约为28．２8米．（２）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =, 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ,解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中,有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅, 解得26.93CD ≈. 所以，CD 的长约为２6.9３米．22．(本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分，第３小题满分7分．（1）证：因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（２）解：直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩有解,即12k <． 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,故它们没有公共点，即12k ≥. 当12k <时,对于直线y kx =,曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<， 即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.(3)证：设M 的坐标为(,)x y,则曲线E 的方程为1x =，即22[(2)]1x y x +-⋅=.对任意的0y ,()00,y 不是上述方程的解,即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔． 所以y 轴为曲线E 的分隔线.2３．(本题满分1８分)本题共有3个小题,第1小题满分３分,第２小题满分6分,第３小题满分９分.解：（1)由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤，解得36x ≤≤.所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．(2)设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠,得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤.从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥，解得8m ≥．8m =时,1[,3]3q =.所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a （3)设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤,223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ．① 当0d >时,129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤. ② 当0d =时,129899a a a a ==== ，符合条件． ③ 当0d <时,129899a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+, 又0d <，所以20199d -≤<.综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。