相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】
一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！
若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。

二， 相似三角形证明的变式
1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：
例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。

求证：DA
·AC=BA ·AE
图2
题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。

2，对特殊图形的认识
例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。

图3
（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。

（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。

总结：
（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；
A
B C A'B'C'图（4）图1 B A
C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。

在此基础上，将双垂直图形转化
为“公边共角”，讨论、探究， A
B
C
得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。

【课堂检测】 一选择题
1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）
A 、3100
B 、20
C 、54
D 、25
108
2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ）
A 、 51
B 、61
C 、71
D 、9
1
D C Ａ Ｄ
O Ｐ
A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图）
3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ）
A 、1：2
B 、1：4
C 、1：8
D 、1：16
4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ）
Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４
5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）
A 、AE BC AD A
B = B 、AD B
C AE AC = C 、AE BC DE AB =
D 、AD AB
AE AC =
A C E B
O
D C
E A D B （第5题图） （第6题图）
6、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）
① 图中有4个三角形与△ACB 相似； ② ;2EC AE DE •=
③∠A=∠BCD=∠CDE ； ④
BD
CE
AC AD =
； ⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=316 ； ⑥DB
AD EC AE =。

A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个
7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）
A 、9∶5
B 、81∶25
C 、3∶ 5
D 、不能确定
8．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
9．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） A 、AD • BD=CD 2 B 、AC •BD=CB •AD C 、AC 2=AD •AB D 、AB 2=AC 2+BC 2
10．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG
GA
的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
11．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、8
12．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ） A 、a ∶b B 、a 2∶b 2 C 、 a ∶ b D 、不能确定
二，填空题
1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC , AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .
C
A A E
D 1
E D G E
A D
B B
C B F C
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则
)
(
)()(
)()(
)(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G ,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 .
4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCD 的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ： ：
5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm.
D P C M
D C
A B A B （第4题图） （第5题图） 6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥，则下底AB 的长是 . 7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .
A A
D E
B C B (第7题图) (第8题图)
8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=
AB 3
2
，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .
9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = .
10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，（1）若AD=9cm,则BD= ； （2）已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= . C
A D B
【强化练习】
1、已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD=CE,AD 、BE 相交于点M
(1)△AME ∽△BAE; (2)BD 2=AD ⨯DM.
2、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F, 求证：FC FB FD •=2 A
E
F B D C
3、已知：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=900,过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F 。

求证：DA DF EF •=2
D
F A
E
B C
4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ADB=90°,CD ⊥AB 于C ，AC=20CM,BC=9CM,求AB 及BD 的长
5、如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC ∽ΔBDA,DC 2=AD •AE
A B C
D A B C D E。