相似三角形知识点一、☆内容提要1、比例的有关性质：()b an d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b cbb a ,2⇒⋅=⇒= 应用变形:已知d c c b a a d c b a +=+=:,求证，dkdc b kb a ±=±。
证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c cb a a +=+ （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ dkdc b kb a ±=±∴ 2、黄金分割的定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =（整段大线段大线段小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。
2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。
黄金比没有单位。
例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。
3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
cd a b = db c a a c b d ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d cb a （比例基本定理）二、☆有关知识点：1、相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2、相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3、相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5、相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSSAAS （ASA ）HL 相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6、直角三角形相似：（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
射影定理：CD ²=AD ·BD ，AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.7、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形的对应角相等。
（2）相似三角形的对应边成比例。
（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（4）相似三角形的周长比等于相似比。
（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8、 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、☆注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ Z ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例ACAEBC DE AB AD ==，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成ECAEBC DE DB AD ==的错误。
2、相似三角形的几种基本图形:Ⅰ、平行线：A 型 Z 型图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； Ⅱ、相交线图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。
Ⅲ、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 3、三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
四、☆实题演练1.如图，已知DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A 、AC AE AB AD = B 、FB EA CF CE = C 、BD AD BC DE = D 、CBCFAB EF =2题图2.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F,则图中共有相似三角形 对。
3.三角形ABC 中，DE//BC,且AD:DB=2:1，那么DE:BC= 。
4.如图，已知DE//BC,CD 和BE 交于点O,若BE:BO=5:3，则AD:DB= 。
4题图3题图BB①② A③C⑥ A ④ A CD B P⑤5．如图，已知AB//CD,BO:CO=1:4，点E,F 分别是OC,OD 的中点，则EF:AB= 。
6. 如图，已知DE//FG//BC,且AD:FD=1:2，FG 是DE,BC 的比例中项，则DF:BF= 。
6题图5题图GE F EDOCBABCADF7.梯形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过O 作EF 平行于底，与腰AD,BC 相交于E.F,若DC=14，OF=8.AE=12.则DE= 。
8.如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE=ED,BE 交AC 于F,则= 。
8题图7题图CEFOD C AADBBE9.若FD//BC,FB//AC. =，则=10.如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则=10题图9题图ECEFDBBF11.如图，三角形ABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE//AB 交BC 于点E,AB=8，BE=3，求EC 的长 12.如图，直线L1//L2，AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，求AE ：EC=12题图11题图BG☆作辅助线构造“A ”“X ”型1、如图，1==DE AE CD BD ，求BFAF。
（试用多种方法解） 方法一：方法二：方法三：2、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，CE交AB于点F，若AF=1.2cm，求AB的长。
3、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，过O点的直线EF∥BC，若AD=9，BC=12。
求EF的长。
4、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC、BD的交点，过B作BE∥CD交CA延长线于E。
求证：OC2=OA·OE。
5、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE=EF=BF，DF、DB与CE分别交于G、H。
求EG∶GH∶HC。
☆巩固练习与能力拓展1.已知：如图，△ACD中，EB∥CD交AC、AD于B、E，AG交BE、CD于F、G。
求证：GDEFCGBFAB DEF2.已知：如图，四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，M 是AC 上一点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥AD 于F ． 求证：1=+ADAFCB CE3.已知：如图，△ABC 中，CD⊥AB 于D ，DE∥BC 交AC 于E ，EF⊥AB 于F 。
求证：AB AF AD •=24.已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E ．求证：BFAFDE AE 2=5.已知：如图， ABCD 中，F 是AB 延长线上任一点，连结DF 交BC 于E 点。
求证：BC∶B E=（AB∶BF）+1☆相似三角形应用——A型X型作业☆1、已知：如图，△ABC中，AE=CE，BC=CD。
求证：ED=3EF2、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm。
求AB、AC的长.3. 如图，已知，ΔABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求证：BFDEDFAEDBAD==ACDBEF☆黄金分割☆一、请你填一填1、如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. 2、黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.3、如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,则d=_____________cm.4、已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________.5、若d cb a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选1、已知yx 23=,那么下列式子成立的是（ ）A.3x=2yB.xy=6C.32=y x D.32=x y 2、把ab=21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.bd c a =2 C.b d c a =2D.dab c 2=3、已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶24、有以下命题:①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有dc b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=15- 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、222AB BP AP =+ 4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ） A 、)15(5- B 、)15(5+ C 、)25(10- D 、)53(5- 三、细心算一算已知实数a,b,c 满足c ba b a c a c b +=+=+,求ac b +的值.四、好好想一想如图4—2—2，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上。