复合材料层合板MA 02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系David Roylance2000年2月10日引言本模块旨在概略介绍纤维增强复合材料层合板的力学知识；并推导一种计算方法，以建立层合板的平面内应变和曲率与横截面上内力和内力偶之间的关系。

虽然这只是纤维增强复合材料整个领域、甚至层合板理论的很小一部分，但却是所有的复合材料工程师都应掌握的重要技术。

在下文中，我们将回顾各向同性材料矩阵形式的本构关系，然后直截了当地推广到横观各向同性复合材料层合板。

因为层合板中每一层的取向是任意的，我们随后将说明，如何将每个单层的弹性性能都变换到一个共用的方向上。

最后，令单层的应力与其横截面上的内力和内力偶相对应，从而导出控制整块层合板内力和变形关系的矩阵。

层合板的力学计算最好由计算机来完成。

本文简略介绍了几种算法，这些算法分别适用于弹性层合板、呈现热膨胀效应的层合板和呈现粘弹性响应的层合板。

各向同性线弹性材料如初等材料力学教材（参见罗兰奈斯（Roylance ）所著、1996年出版的教材1）中所述，在直角坐标系中，由平面应力状态（0===yz xz z ττσ）导致的应变为由于泊松效应，在平面应力状态中还有沿轴方向的应变：z )(y x z σσνε+−=，此应变分量在下文中将忽略不计。

在上述关系式中，有三个弹性常量：杨氏模量E 、泊松比ν和切变模量。

但对各向同性材料，只有两个独立的弹性常量，例如，G 可从G E 和ν得到上述应力应变关系可用矩阵记号写成 1 参见本模块末尾所列的参考资料。

方括号内的量称为材料的柔度矩阵，记作S 或。

弄清楚矩阵中各项的物理意义十分重要。

从矩阵乘法的规则可知，中第i 行第列的元素表示第个应力对第i 个应变的影响。

例如，在位置1,2上的元素表示方向的应力对j i S j i S j j y x 方向应变的影响：将E 1乘以y σ即得由y σ引起的方向的应变，再将此值乘以y ν−，得到y σ在x 方向引起的泊松应变。

而矩阵中的零元素则表示法向分量和切向分量之间无耦合，即互不影响。

如果我们想用应变来表示应力，则式（1）可改写为：式中，已用G )1(2ν+E 代替。

该式可进一步简写为：式中，是刚度矩阵。

注意：柔度矩阵S 中1,1元素的倒数即为杨氏模量，但是刚度矩阵中的1,11S D −=D 元素还包括泊松效应、因此并不等于E 。

各向异性材料如木材、或者如图1所示的单向纤维增强复合材料，其典型特征是：沿纤维方向的弹性模量有纹理的材料，1E 将大于沿横向的弹性模量和。

当2E 3E 321E E E ≠≠时，该材料称为其力学性能是各向同性的，即为正交各向异性材料。

不过常见的情况是：在垂直于纤维方向的平面内，可以足够精确地认32E E =，这样的材料称为横观各向同性材料。

这类各向异同性材料的推广：性材料的弹性本构关系必须加以修正，下式就是各向同性弹性体通常的本构方程对横观各向式中，参数12ν是主泊松比，如图1所示，沿方向1的应变将引起沿方向2的应变，后者与前者之比的绝对值就是12ν。

此参数值不象在各向同性材料中那样，限制其必须小于0.5。

反过来，沿方向2的应变将引起沿方向1的应变，后者与前者之比的绝对值就是21ν。

因为方向2（垂直于纤维方向）上的刚度通常远小于方向1，沿方向1的给定应变引起的沿方向2的应变、与沿方向2的同样的给定应变引起的沿方向1的应变相比，前者要比后者大得多。

因此通常2112νν>。

式（4）有211221νν、、、E E 和5个常数，但其中只有4个是独立的。

因为矩阵S 是对称的，可得12G 112221E E νν=。

图1 正交各向异性材料仅当各坐标轴与材料的主方向一致、即各轴分别沿着和垂直于纤维轴线时，才能得到如式(4)那样的简单形式，即法向和切向分量之间的耦合项为零。

如果坐标轴沿其他方向，则柔度矩阵的所有元素都将不为零，材料性能的对称性也将不再显而易见。

例如，若纤维方向偏离载荷方向，则由于纤维总是倾向于沿着载荷方向，材料中将产生切应变。

因而，正应力和切应变之间将有耦合，而这种耦合在各向同性材料中是不会出现的。

坐标轴的变换按材料性能自然形成的坐标轴记作1和2，分别对应沿纤维方向和垂直纤维方向，如图2所示。

能够将实验室常用的x -坐标系和上述坐标系相互变换是十分重要的。

y图2 坐标轴的旋转如初等教材中所述，在直角坐标系中，柯西（Cauchy ）应力的变换规则可写成：式中，θ是从x 轴到1轴（纤维方向）的夹角。

这些关系式可写成矩阵形式式中，θθsin cos ==s c ，。

进一步可简写为式中，A 即式（6）方括号中的变换矩阵。

虽然式（6）给出的A 的特定形式只适用于二维情况（平面应力状态），而且是在直角坐标系内，但式（7）对二维和三维应力状态都适用。

用数学或几何方法可证明，无限小应变分量可按几乎同样的关系式进行变换：剪切分量前的因子1/2源于剪应变的古典定义：古典切应变是张量切应变的两倍。

这给变换关系式带来一些麻烦，引进下式定义的鲁塔（Reuter ）矩阵可减少这种麻烦现在可写成：或至此，我们可从应变和应力的变换规则推导出柔度矩阵的变换规则。

连续的变换过程如下：先将任意x -方向上的应变，变换到1-2方向（材料的主方向）上的应变，进而求出1-2方向上的应力，最后再变换到y x -方向上的应力。

变换矩阵的最后组合建立了y x -方向的应变与y x -方向的应力之间的关系，于是它就是y x -方向上变换后的柔度矩阵： y式中，S 即对x -轴的变换后的柔度矩阵。

y S 的逆矩阵是D ，即对x -轴的刚度矩阵： y_______________________________________________________________________________例1 芳纶纤维-环氧树脂复合材料单层板，其刚度为8.24821221===G E E 、、（单位均为Gpa ），且5.012=ν，轴1与x 轴的夹角为。

在式（11）给出的变换后的柔度矩o30阵S中，求其1,1元素的倒数即得x方向的刚度。

下面说明用Maple符号数学软件时，是如何完成上述过程的（此处作了简化处理）：读取线性代数软件包定义柔度矩阵设定芳纶纤维-环氧树脂的参数值赋值后的柔度矩阵变换矩阵三角函数关系和角度赋值后的变换矩阵鲁塔矩阵变换后的柔度矩阵x方向的刚度注意：该矩阵在舍入误差范围内是对称的，但存在非零的耦合值。

假如使用者未注意到材料的内部结构，就会认为该材料是完全各向异性的。

_______________________________________________________________________________复合材料层合板纤维增强复合材料最常见的形式之一是交错粘合的层合板。

层合板由一系列单向增强的铺层铺叠而成，如图3所示。

在典型情况下，每层是厚约0.2 毫米的薄片，将纤维在其中平行铺设后，再注入未固化的环氧树脂或其他热固性的聚合物基体材料。

每层的纤维取向是任意的，并且铺叠的顺序也是可设定的，目的是使层合板具有所要求的性能。

在本节中，我们将简略介绍如何设计和分析这种层合板。

图3 三层对称层合板“经典的层合板理论”是均匀板弯曲理论的推广，在分析时，除了板的横截面上的弯矩和扭矩外，还允许有作用在板平面内的轴力和剪力；并且每层的刚度可以不同。

在一般情况下，要确定给定位置上的轴力、剪力、弯矩和扭矩，需要求解涉及层合板平衡和位移相容性的总体方程组。

该理论在许多权威教材2中都有论述，这里将不作讨论。

为方便起见，用板单位宽度内的轴力、剪力、弯矩和扭矩将上述这些量标准化，故它们标准化后的单位分别为N/m 和N-m/m(或简单地看作N)。

前两个标准化的内力可组成标准化的内力矢量，记作N ；后两个标准化的内力偶之矩可组成标准化的内力偶矩矢，记作M 。

取出两个方向均为单位宽度的一小块板，坐标x 和就是板所在平面内与板边缘平行的两个方向，坐标通常取向下为正，z 方向的挠度记作，也取向下为正。

先假设作用在板y z w y x 、处标准化的内力矢N 、内力偶之矩矢M 已知，如图4所示：2 参见S.Timoshenko 和S.Woinowsky-Krieger 著，板壳理论（Theory of Plate and Shells ），McGraw-Hill, New York,1959.图4 板弯曲时横截面上的弯矩和扭矩图5 板上一点的位移（引自Powell 著、1983年出版的教材）与欧拉（Eular ）关于梁的假设相类似，板弯曲的克希霍夫（Kirshchoff ）假设认为：初始时垂直于中面（即的平面）的直线，在板变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，但已绕原中面转过角度0=z AB α。

如图5所示，任意点P 在直线上，欲求该点由转动引起的在AB x 和方向的水平位移u 和v ，可根据转角y α和点P 与中面的距离，作合理的近似，并将转动引起的位移加到中面O 点的位移（、）上，即可得出：z 0u 0v式中，是中面上O 点的垂直位移，0w x w w x ∂∂=0,0，y w w y ∂∂=0,0。

应变矢量是位移的梯度，可用矩阵符号写成式中，下标中的逗号表示对其后的变量求偏导数，若逗号后有两个变量，则表示求二阶偏导 数。

是中面的应变矢量，0εκ是位移的二阶偏导数组成的矢量，称为曲率：式中，分量y x κ是扭曲率，表示中面在x 方向的斜率随的变化率，也就是中面在方向的斜率随y y x 的变化率。

现在由应变来确定x -y 轴方向的应力，这必须考虑到每一层通常有不同的刚度，因为刚度的不仅取决于其材料自身性能，而且取决于其纤维对x -y 轴的取向。

在计算前文所述的变换后的刚度矩阵D （见式（11））时，需计及这一点想前面由式（4）给出的单层。

回板的刚度，是指该特定的板层沿着纤维方向和垂直于纤维方向的刚度。

现在每层板的力学性能必须变换到整个层合板共用的x -y 轴上，而该x -y 轴的方向是任意选择的。

于是在z 轴任何位置处的应力为：式中，D 是欲计算应力处那层板的变换后的刚度矩阵。

每层板上的应力σ之和必须等于单位宽度上的内力N ：式中，是层合板的厚度，h k σ是第层板上的应力，是层合板中面到第层板底部（底部在上、顶部在下）的距离。

由式（16），将应力用中面的应变和曲率来表示：k k zk曲率κ和中面上的应变在的整个积分范围内是常数，变换后的刚度矩阵0εz D 在给定的一层内保持不变。

将这些常数移到积分号外，得：上式积分后，可写成紧凑形式：是“拉伸刚度矩阵”，由下式定义：式中，是耦合刚度矩阵，由下式定义：命名为“拉伸”和“耦合”的依据可从式（20）想到。