表３层合板的优化约束和目标函数值
６．３铺层角度优化 四边简支矩形复合材料层合板优化。结构与例１
相同，具体优化模型及其优化结果如表５所示。从表 中可以看出，在保证满足约束条件的情况下，层合板声 辐射功率从９１．２ｌｄＢ下降到８５．６９ ｄＢ。其目标函数优 化迭代历史如图３所示，由于铺层角度与目标函数之 间的关系要比铺层厚度与目标函数的关系复杂，因此 优化过程也复杂一点，经过１１次迭代，目标函数才收 敛。铺层角度的优化结果如表６所示，从表格中可以 看出，与铺层厚度优化结果一样，优化后的铺层角度中 心对称分布。不同的是其优化迭代历史（如图４所 示），各铺层角度的迭代趋势不是一致的。
３优化模型及求解方法
肘瓦Ｏｕ＋ｃ瓦Ｏｕ＋Ｋ瓦Ｏｕ＝ ｆ，ｓｉｎ（ｔｏｔ）＋ｆＣ０８（ｔｏｔ）
，＝蓑∥ ８Ｋ ——Ｓ Ｏｃｔ＾
ｆ ｃ：掣ｃｏ
ｃｌｏｔｋ
ａＫ ——Ｃ
ｄｄ＾
（１４）
其中，没计变量Ｏｔ。代表层合板第ｋ层的铺层厚度或者
铺层角度，这里假定阻尼矩阵与设计变量无关。由上
பைடு நூலகம்式可以看出，需要计算其质量矩阵和弹性刚度阵对设 计变量的灵敏度，其中，质量矩阵对铺层厚度的灵敏度
‘戈让≤戈ｉ ｓ戈ｉｕ ｉ＝（１，２，…，ｎ） 其中抓ｚ）为目标函数，凡为设计变量Ｘｉ个数，ｍ为约束
函数ｇｊ（石）个数，石倒和石让分别为设计变量石ｉ的上界和下 界。在本文中，复合材料层合板的声辐射功率作为优 化目标，铺层厚度和角度作为设计变量，约束函数中既 考虑了结构的指标：质量和基频，又考虑了声场性质参 数：场点声压。
可得到简单的解析形式，而对铺层角度的灵敏度为零。
弹性刚度阵的灵敏度分析见文［１３］和［１４］。
求解方程（１４），即可得到动态响应的灵敏度。由 于灵敏度的求解方程左端就是结构的振动方程（１）左
端，同样利用振型分解法求解，得到如下形式的解：
结构优化设计问题¨２ ３可表示为如下的一般数学 形式：
ｆｍｉ叭石） ｛ｓ．ｔ． ｇｆ（菇）≤０ Ｊ＝（１，２，…，７礼） （１２）
Ｏ
Ｏ
Ｏ８ Ｏ６ Ｏ４
Ｏ Ｏ２ Ｏ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Ｏ２●，ｌ● Ｏ
６数值算例
６．１ 灵敏度分析和校核 四边简支矩形复合材料层合板，其长宽分别为
０．８ ｍ ｘ０．６ ｍ板厚为０．００１ ４ ｍ，各向异性材料参数：
Ｅｌｌ＝１３５．６ ＧＰａ，Ｅ２２＝９．９ ＧＰａ，Ｇ１２＝Ｇ１３＝Ｇ２３＝４．５
ＧＰａ，弘＝０．３，Ｐ＝１ ４１５ ｋｇ／ｍ３。空气密度Ｐｏ＝１．２１ ｋｇ／ｍ３，空气中声速％＝３４３ ｍ／ｓ。有限元模型网格１６ ×１２，由２２１个节点和１９２个四边形单元构成，激励位 于层合板的中心处，振幅为１Ｎ，频率为５０ Ｈｚ，场点位 于层合板正上方１ ｍ处，不考虑阻尼影响。层合板初 始铺层厚度为：０．０００ ２ ｍ初始铺层角度为：一６００／一
状结构表面上一点或者板的一侧流体区域中的一点。
对方程（４）中瑞利积分板表面离散，当单元尺寸比 较小时，可以认为单元表面振速和声压是均匀的，则单
元表面声压：
Ｐ＝ＺＶ
（６）
其中，Ｚ代表声阻抗行向量；’，代表板表面离散单元的
法向速度列向量。
板表面上所有单元声压的离散表示为：
Ｐ＝Ｚｖ
（７）
３２
振动与冲击
２００８年第２７卷
万方数据
尼阵，ｐ（￡）是由外加动荷载引入的简谐激励，不妨设为
ｐ（ｔ）＝ｐ。ＣＯＳ（ｍｔ）的形式，∞是激励的圆频率。该方程 利用振型叠加法求解，得到下列形式的解：
“＝ｓｓｉｎ（∞ｔ）＋ＣＣＯＳ（∞￡）
（２）
其中，ｓ和ｃ是结构模态的线性组合。本文采用文［８］
中提出的四边形复合材料层合板单元，该单元能解决
？
（１ １）
上式中Ｒ＝Ｒ』Ｊｓｚ］，詹是实对称；声辐射功率不可能为
负数，｜大ｌ此，足正定矩阵。其表达式如下：
ＳｌＳ２ｓｉｎ（ｋｒｌ２）
Ｓ１Ｓ。ｓｉｎ（ｋｒｌ。）
后ｒ１２
矗ｒｌｍ
Ｒ＝掣 是一 ＆一 生
Ｓ；
…
；
Ｚ丌Ｃ
ｉ
’．
ｉ
＆一墨一 簧州百；州瓦 叠
…
…
５ｊ：ｌ
其中，ｒｉ是单元ｉ和单元．，之间的距离；．ｓ；是单元ｉ的面 积。这种方法表达简洁适合数值计算…１，并且适合于 求解不规则的结构振动声辐射功率。
础上，给出考虑振动声辐射特性的复合材料层合板的优化设计模型，研究简谐激励力下的结构灵敏度计算，重点推导了声
学灵敏度分析公式，并采用序列线性规划方法进行了优化求解。数值算例表明通过层合板铺层厚度和角度的优化可以有
效降低结构的振动声辐射，同时验证了灵敏度算法的精度和优化方法的有效性。
关键词：有限元；层合板；声辐射；优化；灵敏度
表５层合板的优化约束条件和目标函数值
表４声功率对铺层厚度优化的数据和结果
表６声功率对铺层角度优化的数据和结果
妮
叭 粥
眇 一≥军。一．２∞口Ｙｏ参ｏＡ
髂
盯
３Ｉ苗；ｏｕ《 ％ １
２
３
４
５
Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ
图１声功率迭代历史
０ Ｏ３ Ｏ Ｏ ０ ２８
Ｏ Ｏ２ ６
Ｏ Ｏ２４
Ｏ Ｏ２２ Ｏ ０Ｏ
Ｏ —矗、∞ｏ口）『ｕ—ｏ＿ｒ
声辐射功率对设计变量的灵敏度分析通过对式
（１１）求导得：
瓦０ｗ＝秽“Ｒ老＋争Ｈ拳 ｄ仅‘
∥ａ●
Ｚ
ｄ仅‘
（·８）
由于铺层厚度和铺层角度对足没有影响，故可简化为：
＿０Ｗ＝…秽“●冠罢
（、１１／ ９），
Ｏ‘Ｏ／ｋ
口ａＩ
其分贝表示形式为：
鬻ｄａ＿Ｉ１０上ＩｎｌＵ竺ｄｏｔｋ
（２０）
５．２场点声压灵敏度
场点声压灵敏度对于设计变最的灵敏度分析，对
２００／２００／６００／２００／一２０。／一６０。。
声功率和场点声压对于铺层厚度（ｔ．一ｔ，）和铺层 角度（０，一０，）的灵敏度分析与本文差分法计算结果分 别见表１和表２。从表中可以看出，灵敏度分析计算结 果与本文差分法吻合的很好，表明本文灵敏度分析具 有很高的精度。需要指出的是：本文算例中，声辐射功 率和场点声压及其相应的灵敏度均采用分贝形式。
ｌ结构振动有限元计算
结构在简谐激励下的振动方程如下式所示：
Ｍｕ＋Ｃｕ＋Ｋｕ＝Ｐ（ｔ）
（１）
式中Ｍ、Ｋ分别为结构的质量阵和刚度阵，Ｃ是结构阻
基金项目：国家自然科学基金（１０７７２０３８，１０４２１２０２，１０３０２００６）资助 收稿日期：２００８—０３—２４修改稿收到日期：２００８—０４—２４ 第一作者刘宝山男，博士生，１９７９年１月生
式中矩阵ｚ是由ｇ组合而成。
数做一阶近似，把原问题近似为线形规划问题，求解后
而板的一侧流体区域中场点声压离散形式可表 得到新的设计变量，重复这一过程直至迭代收敛。如
示为：
果目标函数和约束函数用Ｔａｙｌｏｒ展开来近似，则原问
Ｐ。＝乞秽
（８）
其中，乙是从式（４）右端积分求得系数行向量，与场点
和结构位置关系，分析频率以及流体介质密度有关。
本文采用序列线形规划算法求解优化问题式 （１２）。在当前设计点将约束函数做一阶近似，目标函
万方数据
其中，
一Ｏｕ：塑＋丝
ａ“Ｉ
ａ口＾
ａａ＾
（１５）
警：驴ｉｎ（∞￡）¨ｃ。ｓ（ｔｏｔ）
ｔＹＯｔｋ
警：即ｉｎ（∞￡）＋印。ｓ（ｔｏｔ）
（１６）
（７０［ｋ
同理，ｓ。、ｃ。、ｓ。和ｃ。是结构模态的线性组合。采用这个
（４）
毒
其中，ｉ２＝一１，Ｐ是流体介质的密度，Ｓ为板状结构上
表面，秽。（Ｘ’）为ＳＰ上一点ｘ’的法向速度，Ｇ。（ｘ’，Ｘ）为
半无限自由空间的格林函数，其表达式为：
Ｇ＾（Ｘ’，ｘ）＝。三一渐
（５）
二７『ｒ，
式中ｋ＝∥ｃ，ｃ为流体中声传播速度；ｒ＝Ｉｘ’一ＸＩ是
两点的距离，ｘ’是板状结构表面上的任意一点。ｘ是板
“剪切自锁”问题并具有厚薄板通用的性能。
求得结构位移响应，对其进行转换可得结构表面
法向速度：
移＝ｉｍＴｕ
（３）
其中，ｒ为转换矩阵，仅与结构表面形状有关。
２结构振动声辐射计算
对于嵌在无限大障碍板上的板状结构而言，其简 谐激励下板的一侧以及板表面上的声压可以由瑞利积 分求得，即：
Ｐ（ｘ）＝ｉ（叩ＩＧ＾（Ｘ’，ｘ）秽。（ｘ’）赵’
而基于结构表面振速的声功率计算公式一·１０ ３为：
１
／－
埘＝÷ＪＲ。｛Ｐ（Ｆ）’口（∥）｝ｄＸ＂
（９）
二：
式巾ｓ是表示振动结构的积分表面，Ｐ（ｒ）是表面上一
点Ｆ＝（石，Ｙ）的复声压，秽（Ｆ）是结构表面上这一点上
题式（１２）可转化为下列线形规划问题：
ｆｍｉｎｆ（石ｏ）＋Ｖ １以戈ｏ）Ａｘ
｛ｓ．ｔ．ｇｊ（ｘｏ）＋Ｖ ７９ｊ（ｘｏ）Ａｘ≤０
算法，显著减少了动态响应灵敏度的计算工作量，并易
于考虑瑞利阻尼、结构阻尼等多种阻尼形式。
求得结构表面位移响应灵敏度，对其进行转化可
得结构表面法向速度灵敏度，如下式：
ｉ—Ｏ— ｖ＝＝ｔ‘Ｏ』）ｒ—罢—
（Ｉ １ｌ１／）Ｊ
第１２期
刘宝山等：复合材料层合板结构振动声辐射优化
３３
５声学响应灵敏度分析
５．１声功率灵敏度
（１３）
【石正ｓ戈。５ ｚⅢ
其中，ｖｆ（‰）、和Ｖｇｊ（石。）是目标函数和约束函数的 梯度向量。从式（１３）可以看到，优化求解的关键汁算
目标函数和约束函数对没计变量的灵敏度。
的复法向速度，尺，｛｝表示取两者乘积的实数部分。
·４结构响应灵敏度分析
同理，式（９）的离散化表达式为：
Ｗ＝÷尺ｅ［ｚ７“印］
（１０）