即 2i11 (4i1＋4i2 )2 2i23 M 2
结点3：
统一用矩阵表示：
2i1 4i1 2i 4i 4i 1 2 1 0 2i2
0 1 M 1 1 2i2 2 M 2 2 4i2 3 M 3 3
2 定位向量 2i2 1 4i2 2 4 ⑤ 4i5 [k ] 2i5 5 2i5 4 4i5 5
1 0 1 定位向量 ① 4i1 2i1 0 ② 4i2 [k ] [k ] 1 2i1 4i1 2i2 2 3 3 4 ③ 4i3 2i3 2 ④ 4i4 2i4 3 [k ] 3 [k ] 2i 4i 4 2i3 4i3 4 4
结点1：
M2
②
M3
i1
1 2
i2
3
M12 M1 结点2：M 21＋M 23 M 2 M 32 M 3
整体刚度方程： 观察单元与整体刚度方程 的结点位移码对应关系， 可理解“单元集成法”。
即 即
（ 1 2
4i11 2i12 M1 2i22 4i23 M3
3 ）
结点位移码
12
EI l3 EI 6 2 l EI 12 3 l EI 6 2 l
EI l2 EI 2 l EI 6 2 l EI 4 l 6
桁架单元：
e
1
EA EA e l l 2 k EA EA （2×2） l l
2i2 2 4i2 3
3 ）
二、单元集成法(直接刚度法)
1.定位向量 —— 由单元的结点位移码 （整体码）组成的向量。 1
1 2
①
M1
①
M2 2
②
M3 3
i1
i2
2 3
②
2.整体刚度矩阵集成
定位向量
（ 1
整体刚度矩阵
3）整体刚度矩阵
2 2i2 1 4i2 2
4 ⑤ 4i5 [k ] 2i5
5 0 0
结点 位移码
5 2i5 4 4i5 5
1 4i1 +4i2 2i2
2 2i2 4i2+4i3 2i3
3 0 2i3
4 0 0 2i4
1 2
[K ]
0 0
0
4i3+4i4
0
3
矩阵表示
M12 4i1 2i1 1 M 21 2i1 4i1 2 M 23 4i2 M 32 2i2 2i2 2 4i2 3
单元②
矩阵表示
M1
①
5.由结点平衡 建立位移法方程
①
M2
2
②
M3
i1
T
i2
3
2.已知原始结点荷载 4.写出单元的杆端弯矩
（转角位移方程）
单元①
M1 M 2 M3
— 即三个结点力偶荷载
T
3.基本未知量（结点位移） 1 2 3
— 即三个转角位移
（单元刚度方程）
M12 4i11 2i12 M 21 2i11 4i12 M 23 4i2 2 2i2 3 M 32 2i2 2 4i2 3
▲杆件单元归纳
自由梁单元： （用于刚架）
3
1
2
e
6 4 5
忽略轴向变形 的梁单元：
EI 12 l 3 6 EI e l2 EI （4×4） 12 l3 EI 6 2 l
2
4
e
3
1
（6×6）
k
e
k
EI l2 EI 4 l EI 6 2 l EI 2 l 6
2 ）
结点 位移码
单刚①
1 2 )
4i1 2i 1
2i1 4i1
（ 1
2
3 ）
(
(
单刚②
对号入座 原理相同
（ 2
2 3 )
4i2 2i 2
2i2 4i2
3 ）
对号入座
4i1 2i 1 0
2i1 4i14i2
2i2
0
2i2 4i2

▲结点荷载向量的集成原理相同
[例1]
形成连续梁的整体刚度矩阵
（1）
（0） 1
2
（2）
3
（3）
4
（4）
5
（5）
i1
1 2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
6
解：1）编号及建立坐标
2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
1 0 1 定位向量 ① 4i1 2i1 0 ② 4i2 [k ] [k ] 1 2i1 4i1 2i2 2 ③ 4i3 [k ] 2i3 3 2i3 2 4i3 3 3 ④ 4i4 [k ] 2i4 4 2i4 3 4i4 4
4 5
0
0
2i4 4i4+4i5 2i5 4i5 2i5 0
[例2] 形成连续梁的整体刚度矩阵（E、L为常量）。 （0,0） 解：1）编号及建立坐标
（连续梁每个结点有二个位移）
1
I1
（0,1） 2
（2,0）
2 I2
1
3
2）单元刚度矩阵 0 0 0 1 定位向量 12EI1 6EI1 -12EI1 6EI1 0 L2 L3 L2 L3 6EI1 4EI1 -6EI1 2EI1 0 L L2 L2 L -12EI1 -6EI1 12EI1 -6EI1 0 L2 L2 L3 L3 2EI1 -6EI1 4EI1 6EI1 1 L L2 L L2
第9章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述 单元刚度矩阵（局部坐标系） 单元刚度矩阵（整体坐标系） 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） 刚架的整体刚度矩阵 结构整体结点荷载 计算步骤和算例 竖向杆件坐标变换的简化技巧 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
k =
①
1
2
1
2
0
1
2
0
定位向量
k =
②
2
3
3）整体刚度矩阵
12EI2 6EI2 -12EI2 6EI2 L2 L3 L2 L3 6EI2 4EI2 -6EI2 2EI2 L L2 L2 L -12EI2 -6EI2 12EI2 -6EI2 L2 L2 L3 L3 2EI2 -6EI2 4EI2 6EI2 L L2 L L2
0 1 2 0

K =
4EI1 4EI2 L + L -6EI2 L2
-6EI2 L2 12EI2 L3
1 2
结 束
（第二版）作业: 9—1、3（形成总刚）
结 点 位 移 向 量 结 点 荷 载 向 量
( )
整体刚度矩阵
单 元 ①
M12 4i1 2i1 1 M 21 2i1 4i1 2
（ 1
2 ）
单 元 ②
M 23 4i2 M 32 2i2
（ 2
连续梁单元：
1
e
EI 4 2 e l k EI （2×2） 2 l
EI l EI 4 l 2
§9-4 连续梁的整体刚度矩阵
一、传统位移法(结合矩阵表示)
(整体分析)
1.编号、建立坐标。
（连续梁每个结点只一个位移） （局部坐标与整体坐标一致） 1
M1
1
2
(
3
)
结点荷载向量的集成原理相同
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
1.将定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；
2.将单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列（相
应于定位向量中0编号的行列）划去；—— 先处理法
3.整体刚度矩阵[K]为n×n 方阵，n 即结构未知量数； 4.将各单元刚度矩阵[k]e按照其定位向量“对号入座” 集合入整体刚度矩阵，形成[K]（空白的位置以0填充)。