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第一章 函数
第一节 函数的基本概念 第二节 函数的性质 第三节 反函数与复合函数 第四节 初等函数
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第一节 函数的基本概念
预备知识 集合、区间和邻域
一、函数的定义 二、函数的表示法 三、函数的定义域
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预备知识 集合、区间、邻域
1）集合
集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；
集合中的每个事物称为集合的元素（元），
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设函数 y f (x)的定义域为 D ，值域为 M ，若 对任意 y M ，由函数关系式 y f (x) 恰好唯一确 定出一个 x D与之对应，则认为 x 是 y 的函数， 记作 x g( y) ，称上述的 y f (x) 与 x g( y) 互为反 函数，习惯上将 x g( y) 记作 x f 1( y) .
(3) f(x )
1
1 x
(4) f(x ) x 2 1
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二 、单调性
设函数 f (x)在区间D上有定义, 如果对于区间 D上任意两点 x1 x2, 恒有 : f (x1) f (x2),则称函数 f (x)在区间D上是单调增加的 ;
设函数 f (x)在区间D上有定义,如果对于区间D上任意两点 x1 x2, 恒有 : f (x1) f (x2),则称函数 f (x)在区间D上是严格单调增加的。
其中T 称为函数 f (x) 的周期．通常说的周 期是指最小正周期．但并非每个周期函数都 存在最小正周期．
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判断一个函数是否是周期函数的步骤如下： （1）将函数分解成已知其周期的函数（比 如三角函数等）的代数和，再求这些周期函数的 周期的最小公倍数． （2）列出方程 f (x T ) f (x) 0 ，以T 为 未知量解此方程． 若解出的 T 是与 x 无关的正数，则 f (x) 是周 期函数；反之，或利用一些已知的运算法则推出 矛盾的结果，就可断定函数是非周期函数．
f(x) M ，则称函数 f (x) 在 D 上有界．否则无界.
显然，如果函数 f (x) 在 D 上有界，一定存在两个常数 m 和 M ，使得对任意 x D，有： m f(x) M 。反之亦然。
【例 3】例如函数 f(x)=sinx.
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四、周期性
设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在一 个正数 T ，使 得对于任何 xD ，都有 f(x T ) f(x )且(x T )D ，则称函数 f (x) 为 周期函数。
其运算律： （1）A B= BA AB =BA （2）（AB )C =A(B C)
(A B) C = A(B C)
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（3） （AB ) C =(A C )(B C) （A B ) C =(A C ) (B C)
（4） AA=A,A A=A （5） A=A,A =
数为
y=ln(x+√x2+1).
y sin x
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44
二、复合函数（教材P13）
如果 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的
函数u g(x )，就称 y 是 x 的复合函数，记
作 y f[g(x )]，其中 u 称为中间变量．
函数的复合中要注意的是，函数u g(x ) 的值域应该在函数 y f (u) 的定义域内，这样 函数才能复合，否则复合就没有意义．
若A B，A B =A，A B =B。
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2）区间---9种类型的区间
设实数 a b，开区间 (a,b)＝{x | a x b}，记作 (a,b)． 数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，但不包括端点 a 及端 点b． 闭区间[a,b] ＝{x | a x b}，记作[a,b] ． 在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，包括两个端点．. 集合{x | a x b}记作 (a,b]，称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ，称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间，数 b a 称为这些区间的长度．
《高等数学》
（2017年版）
主 编 高职高专规划教材委员会 出版社 吉林大学出版社
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课程目录
第一章 函数 第二章 极限与连续 第三章 导数与连续 第四章 中值定理与导数的应用 第五章 不定积分 第六章 定积分 第七章 定积分的应用 第八章 常微分方程 第九章 向量代数与空间解析几何 第十章 多元函数微分学 第十一章 二重积分 第十二章 无穷级数
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(a,) {x | x a} ，
[a,) {x | x a}
(,b) {x | x b} ， (,b] {x | x b} 以上区间称为无限区间 全体实数的集合 R = (,) {x | x为任意实数}, 它也是无限区间.
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3) 邻域（可选讲）
函数的常用表示法有以下三种： （1）表格法 将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法. （2）图形法 在坐标系中用图形来表示函数关系的方法. （3）公式法（解析法） 将自变量和因变量之间的关系用数学表 达式（又称为解析表达式）来表示的方法.
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二、函数的概念
【例，分段函数】
例 绝对值函数
｛
其定义域：D=(－∞,+∞),值域［0,+∞),它的图形如图所示 ．
、4
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第三节 反函数和复合函数
一、反函数 二、复合函数
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一、反函数
在函数定义中，规定了对于每一个 x ，都有
唯一的 y 与之对应，这样定义的函数又叫做单值 函数，如果有两个或更多的数值 y 与之对应，就 称 y 是 x 的多值函数。
凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单 值函数
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【例4】 f(x)=sinx和f(x)=cosx
（1）正弦函数y=sin x，其定义域为(－∞,+∞)，值域为 ［－1,1］，它是奇函数及以2π为周期的周期函数（见图）.
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（2）余弦函数y=cos x，其定义域为(－∞,+∞)，值域为 ［－1,1］，它是偶函数及以2π为周期的周期函数（见图）.
图1-11
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二、函数的概念
【例，分段函数】（教材P2）
｛｛ 例 符号函数y=sgn x=
-1 , x<0
0 , 0x=,x0=0 1 , 1x,x＞＞00
其定义域D=(－∞,+∞),值域{－1,0,1}.对任
一实数x,总有x=sgn x·x，它的图形如图所
示．
有些函数,对于自变量的不同取值范围
，有不同的对应法则,这种函数称为分段函
Z----整数集 R----实数集
它们间关系:
不含任何元素的集合称为空集.
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集合间的关系:
若x A,则必x B,则称A是B的子集.
记作 A B.
若A B且B A,则A B.
规定 空集为任何集合的子集.
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基本运算 设A、B是两集合 则
并 “AB” {xxA或xB} 交 “AB” {xxA且xB} 差“A-B” {xxA且xB}
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复合函数进一步的解释：
设有函数链
y f (u), u D1
①
且 g(D) D1 ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu ,
可有复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
则称 f 为定义在 D 上的一个函数，也称 y 是 x 的函数，
并记作 y f (x) ， x D ，其中 x 称为自变量， y 称
为因变量，实数集 D 称为这个函数 f 的定义域．
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对于每个 x D ，按照某种对应法则 f ，总存在唯
一确定的实数值 y 与之对应，这个实数值 y 称为函数
数.
y
1
o
x
1
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【例，分段函数】(教材P3)
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1 2
20
21
三、函数的定义域
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教材P5 习题1-1 1、2、
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第二节 函数的性质
一、函数的奇偶性 二、函数的单调性 三、函数的有界性 四、函数的周期性
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一、奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
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设函数 f (x)在区间D上有定义, 如果对于区间 D上任意两点x1 x2,
恒有: f (x1) f (x2),则称函数 f (x)在区间D上是单调减少的;
设函数 f (x)在区间D上有定义,如果对于区间D上任意两点x1 x2,
恒有: f (x1) f (x2),则称函数 f (x)在区间D上是严格单调减少加的。
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
称数集{x a x a }为点a的邻域 ,
记作U（a，）,称点a为该邻域的中心 ,为该邻域的半径


a
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) {x 0 x a }
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一、函数的定义
常量与变量:
研究过程中不可以改变的量称为常量. 研究过程中可以改变的量称为变量, 注意 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t等表示变量. 通常用字母a, b, c等表示常量,
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函数的定义
定义 D 为给定实数集，对于每个 x D，按照某 种对应法则 f ，总存在唯一确定的实数值 y 与之对应，