解题步骤：
❖第一步：变有圈为无圈。 ❖方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破去
一个圈。 ❖注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大
的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
7 4 B1
5
A3 3
4 6 B4
2 B5
2
4
4 B2
4 B3
3
6
5
7 A1
8 8 A2
❖第二步：在无圈的交通图上作流向图。
❖原则：先外后内，先端点后中间点，要求 每个边都有流向。当某条边无流向时，必 须填上运输量为零的虚流向。
❖ 在铁路、公路等交通部门经常使用这种方法决 策最优运输问题，这种方法被称为图上作业法。
二、编制交通图和流向图
• 交通图
• 反映发点（产地）与收地（销地）及交通线路及其 距离组成的图形。
• 发点用“○”表示，发出货物的数量记在“○”之内 （单位：吨）
• 收地（销地）用“□”表示，收取货物的数量记在 “□”之内（单位：吨）
第二步：作流向图
7 4 B1
5
A3 3
（5）
4 6 B4 （2）
2 B5
2 （4）
（3ห้องสมุดไป่ตู้ 4
8
4 B2
4 B3
（8） （1）
3
6
7 A1
（8）
5
8 A2
❖ 第三步：检查有无迂回。
❖ 圈B5B4B3A2的圈长=4+4+5+8=21,内圈长= 4+4+5=13>（21/2），有迂回，所以流向图不是 最优流向图。需要调整。
5 A3
（4）
3
4 B1
4 6 B4
2 （3）
（2） 4
2 B5
（2）
8
4 B2
（7）
3
4 B3 6
7 A1
（6）
5
8 A2
❖ 可验证：此方案中无迂回现象。即为最优方案。
发 B1 B2 B3 B4 收 A1 3 4
A2
42
A3 1
4
收货量 4 4 4 6
B5 发货量
7
2
8
5
2
练一练
答案
❖ 第六步：对方案进行调整。
❖ 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去掉的边 除外），改此边为丢掉的边（边A1B3），并补上 原来丢掉的边（边B1A3），得到新的交通图。在 此交通图上做新的流向图。直到所有圈的内圈长 小于二分之一圈长，外圈长小于二分之一圈长， 得到最优方案。
第六步：调整方案
7（1）
（1）不合理的现象1：对流
❖ （1）对流：所谓对流就是在一段线路上有同一 种物资出现相对运输现象（往返运输）（同一段 线路上，两各方向都有流向），如左图。
❖ 甲乙两地是一种对流现象。如果把流向图改成右 图，就可以避免对流现象，从而可以节约运输量 20×10=200(吨公里)。
(20)
(10)
(20)
2、流向图
❖含有圈的流向图的补充规定
❖ 顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称为内圈 流向
❖ 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称为外圈 流向
内圈流向、外圈流向举例
6 （4）
4
4
2 图：内圈流向
6
4
4
2 （4）
图：外圈流向
二、对流向图的检验
❖ 在物资运输中，把某种物资从各发点调到各收点 的调运方案是很多的，但我们的目的是找出吨— 公里数是最小的调运方案。这就要注意在调运中 不要发生对物流运输和迂回运输，因此，我们在 制定流向图时，就要避免它的出现。
三、图上作业法的求解过程
❖1、无圈（线状）的交通图 ❖2、有圈的交通图
❖方法：供需归邻站
1、交通图无圈（现状）情形
❖【例】求最优调运方案
B1 3 A1 2 A2 4 B2 7
6
8
5
1
4
B3
A3
A4
A5
B4
案例分析
❖ 口诀：抓各端，各端供需归邻站
❖ 即：先满足端点的要求，逐步向中间逼近，直至 收点与发点得到全部满足为止。
迂回运输的判断
6 （4）
4
4
2 左图
显然：左图为迂回运输
6
4
4
2 （4）
右图
（3）、正规（最优）流向图
❖正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。
❖物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。
❖步骤如下：
• 作出一个无对流的初始可行方案； • 检验有无迂回 • 若无，结束； • ������ 否则，调整，直到最优。
B1 3
（3） （4）
A1 2
（3）
A2 4
（7）
B2 7
（10）
（2）
（3）
（4）
6
8
5
1
4
B3
A3
A4
A5
B4
练一练
答案
2、交通图有圈情形
❖【例】求最优调运方案
7 4 B1
5
A3 3
4 6 B4
2 B5
2
4
4 B2
4 B3
3
6
5
7 A1
8 8 A2
❖ 它的原则可归纳为：
❖ 流向划右方，对流不应当；里圈、外圈分别算， 要求不过半圈长；如若超过半圈长，应甩运量最 小段；反复求算最优方案。
• 两点之间的线路长度记在交通线路的旁边。
1、交通图
1、交通图
2、流向图
❖流向图:
❖ 在交通图上表示物资流向的图被称为流向图。在 图中每个发点吨数全部运完，每个收点所需吨数 均已满足。流向用箭头画在两点连线的右方。 （即：站在发点，看向收点，右手所在的一侧或 从发点到收点，顺时针方向的一侧）
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号
括起。
2、流向图
❖ 关于流向图的一些规定
❖ 箭头必须表示物资运输的方向 ❖ 流量写在箭头的旁边，加小括号。 ❖ 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、交叉点 ❖ 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即同一段
弧上的多条流向必须合并。 ❖ 除端点外，任何点都可以流进和流出
2、流向图
4 B3
（8） （1）
3
6
7 A1
（6）
5
8 A2
❖ 第五步：对新方案进行检验。
❖ 圈B5B4B3A2的圈长=4+4+5+8=21,内圈长= 4+5=9<21/2，外圈长= 8<21/2.内圈、外圈的长度 均不超过圈长的一半，所以该圈不存在迂回。
❖ 圈A3B1B2A1B3B4的圈长=7+2+3+6+4+3=25,内圈长= 2+3+6+3=14>25/2，有迂回，所以流向图不是最 优流向图。需要调整。
❖ 第四步：对方案进行调整。
❖ 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去掉的边 除外），改此边为丢掉的边（边B5B4），并补上 原来丢掉的边（边B5A2），得到新的交通图。在 此交通图上做新的流向图。
第四步：调整方案
7 4 B1
5
A3 3
（5）
4 6 B4
2 （4）
（1） 4
2 B5
（2）
8
4 B2
图上作业法
本节课的主要内容
❖ 编制交通图和流向图 ❖ 对流向图的检验 ❖ 图上作业法的求解过程（重点）
一、图上作业法
❖ 在运输中，若使用同一种运输工具，则运费的 计算往往仅与运送物资的多少及里程有关。因 此，在求最佳的运输方案时，用吨公里作为度 量的标准比用运费作为度量标准更加方便、实 用。
❖ 在求解最佳运输方案时，用吨公里作为度量单 位，还可以在已经画出的交通图上进行，操作 起来较为简单、方便、直观、快捷。
甲 20
10
10 乙
甲 20
10 10 乙
(10)
(10)
左图
右图
（2）不合理的现象2：迂回
❖ （2）迂回：当收点与发点之间的运输线路有两
条或两条以上时（即交通图成圈），如果运送的 货物不是走最短线路，则称这种运输为迂回运输。 ❖ 注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈流向的 总长（简称内圈长）或外圈流向的总长（简称外 圈长）超过整个圈长的一半就称为迂回运输。例 如某物资流向图如图所示。