AB CD E O l A ′ 中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.例1(2005年·)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长.（二）线动问题在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．(2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，x x AE 492+= ∴AF 21⋅=∆AE S AEF x x 96)9(22+=，x x x S 96)9(322+-=A 3(2) O3(1)xx x S 968127024-+-= (333<<x ) ②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．[类题]09虹口25题．（三）面动问题如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．[题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．[区分度性小题处理手法] 图3-5图3-4图3-3图3-1C C C C C 1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.[ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得512=a . （3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=， C当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去掉，同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域． （3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。

那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300，当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。

从而需要分类讨论。

这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知△ABC 是半径为2的圆接三角形，若32=AB ，求∠C 的大小.本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB 中,232121sin ==∠OB AB AOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB ,AB FD E M N C从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，即060=∠C , 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，因此060=∠C 或∠C=1200. 变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化围，若不变化，求出它的值。

四边形ABCD 的面积的最大值。

解：（1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点A 、B 的变化而变化。

（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43，而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯，又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EHBG AF =+)(21，要四边形ABCD 的面积最大，只需EH 最大，显然EH ≤OE=23，当AB ∥CD 时，EH=OE ，因此四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433.对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变化围.变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（市2000年考题） 分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量，只需AB 边上的高最大即可。

过点C 作CD ⊥AB 于点D ，连结CO ，由于CD ≤CO ，当O 与D 重合，CD=CO ，因此，当CO 与AB 垂直时，即C 为半圆弧的中点时，其三角形ABC 的面积最大。

本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C 重合），，证明三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可。

如图显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D ，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点C 外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大.本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。

提示：利用周长与面积之间的关系。

要三角形ABC 的周长最大，AB 为常数，只需AC+BC 最大，而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC的面积，因此ΔABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而ΔABC 的周长最大。

从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:一、 特殊探路，一般推证 例2：（2004年市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，则PC BP的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=- BC ×AP=BP ×AB ，因此 BC=62462288162822==+=+⨯BP AB BPAB ，在三角形BPC 中，PC=36222=-BC BP ， 所以，PC BP =3选（B ） 当然，本题还可以根据三角形相似得BP AP PC BP =，即可计算出结论。