数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。

二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。

已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L，U 。

(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项。

（12分）线性方程组⎩⎨⎧=+=-22112122b x x b x x ρρ（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。

（2） 设2=ρ，给定松弛因子21=ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论收敛性。

五、（7分）改写方程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。

七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；（3） 用所求公式计算⎰12dx x。

八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 的值，这里.1+≤n p数值分析模拟试卷3一、填空题（每空3分，共30分）1． 设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求⎰212dx x = 。

二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；(2) 给出A 的选主元的Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项。

四、（10分）证明对任意的初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =的根，且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。

（可用数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ） 六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 的三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰--=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。

七、（10分）验证对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=∀+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 一、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii二、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈∙x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型的. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 一、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 1 8. 是, 1二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、 )2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ 四、(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛 七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 八、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 一、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ 五、10512p p +六、1=n ，2π。