第一章 生命表1.给出生存函数()22500x s x e-=,求:(1)人在50岁~60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s s s s q s P X s s p s <<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x 3/2,0≤x ≤100,求(1)F (x )(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x)3. 已知Pr [5<T(60)≤6]=0.1895,Pr [T(60)>5]=0.92094,求q 65。
()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s s q p s s s s q s -====-∴==4. 已知Pr [T(30)>40]=0.70740,Pr [T(30)≤30]=0.13214,求10p 60 Pr [T(30)>40]=40P30=S(70)/S (30)=0.7074 S (70)=0.70740×S(30) Pr [T(30)≤30]=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴10p 60= S(70)/S (60)=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表:k0 1 2 3 4 5 6 7 8 945kq .0050 .0060 .0075 .0095 .0120 .0130 .0165 .0205 .0250 .0300求:1)45岁的人在5年内死亡的概率;2)48岁的人在3年内死亡的概率;3)50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=(0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120)=0.046.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体,根据本章中的生命表计算(取整)(1)3年后群体中的预期生存人数(2)在40岁以前死亡的人数(3)在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×(1-0.0055)≈1492 (2)4d 36=l 36×4q 36=1500×(0.005+0.00213)≈11(3)l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =,803129d =,求81l 。
8080818080800.07d l l q l l -=== 8080818080800.07d l l q l l -=== 9. 015.060=q ,017.061=q ,020.062=q , 计算概率612P ,60|2q .612P =(1-q 61)(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P .q 62=0.0193710. 设某群体的初始人数为3 000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。
求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
120121122(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l ++++++======13.设01000l =,1990l =,2980l =,…,9910l =,1000l =,求:1)人在70岁至80岁之间死亡的概率;2)30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率;3)30岁的人的取整平均余命。
18.19.24.答:当年龄很小时,性别差异导致的死亡率差异基本不存在,因此此时不能用年龄倒退法。
27.28.设选择期为10岁,请用生存人数表示概率5|3q[30]+3第二章 趸缴纯保费1. 设生存函数为()1100xs x =-(0≤x ≤100),年利率i =0.10,计算(保险金额为1元):(1)趸缴纯保费130:10Ā的值。
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
1010130:101010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t tt t x x t tt t x x t x s x t s x p s x xA v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2.设利力0.210.05t tδ=+,75x l x =-,075x ≤≤,求x A 。
5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算:(1) 1:20x A (2) 1:20x A 1 120:20:201 1:20:20:201 1:20:201 1:20:201:20 1:200.250.40.550.050.5x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎧=+⎪⇒⎨=+⎪⎩⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 6.试证在UDD 假设条件下: (1) 11::x n x n iδ=A A (2) 11:::x x n n x niδ=+ĀA A8. 考虑在被保险人死亡时的那个1m年时段末给付1个单位的终身寿险,设k 是自保单生效起存活的完整年数,j 是死亡那年存活的完整1m年的时段数。
(1) 求该保险的趸缴纯保费 ()m x A 。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明()()m x x m i iA A9.10.(x)购买了一份2年定期寿险保险单,据保单规定,若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,则在死亡年末可得保险金1元,()0.5,0,0.1771x q i Var z === ,试求1x q +。
11.已知,767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A12.设现年40岁的人购买一张保险金额为5000元的30年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试用换算函数计算该保单的趸缴纯保费。
500030:140A =5000×(M40-M70)/D40=388.6613.现年30岁的人,付趸缴纯保费5 000元,购买一张20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。
解:1130:2030:2050005000RA R A =⇒=191111303030303030:2030303030313249232030305030111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld Avp q vv d l l l d d d d l M M D ∞∞+++++++===+====++++-=∑∑∑例查(2000-2003)男性非养老金业务生命表中数据1232030:2011111(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06) 0.017785596281126.3727A R =++++===283285.0714.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定:被保险人在10年内死亡,给付金额为15 000元;10年后死亡,给付金额为20 000元。
试求趸缴纯保费。
趸交纯保费为1110|3535:101500020000A A +991111353535353535:1035353535363744231035354535111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06)13590.2212077.310.01187127469.03k k k kk kk kk k k k ld Avp q vv d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++--===∑∑∑7070701111353510|3535353510101035353545464710511121371354535111111()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)12077.310.09475127469.03k k k kk kk k k k k k ld A vp q vvd l l l d d d d l M D +++++++===+====++++===∑∑∑ 所以趸交纯保费为1110|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=15.年龄为40岁的人,以现金10 000元购买一份寿险保单。
保单规定:被保险人在5年内死亡,则在其死亡的年末给付金额30 00元;如在5年后死亡,则在其死亡的年末给付数额R 元。
试求R 值。
17.设年龄为50岁的人购买一张寿险保单,保单规定:被保险人在70岁之前死亡,给付金额为3000元;如至70岁仍生存,给付金额为1500元。
试求该寿险保单的趸交纯保费。
解:该趸交纯保费为:1150:2050:2030001500A A +1919191111505050505050:20505050505152692320050507050111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld Avp q vvd l l l d d d d l M M D +++++++===+====++++-=∑∑∑1707070705050:20507050l A v p v l D D ===18.设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定:若(30)在第一个保单年度内死亡,则在其死亡的保单年度末给付5000元,此后保额每年递增1000元。
求此递增终身寿险的趸交纯保费。
该趸交纯保费为:30303030303040001000()40001000M RA IA D D +=+=3406.34 75757511130303030303003030303031321052376303030111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld A vp q vv d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++=∑∑∑7575751113030303030300030303030313210523763030301()(1)(1)(1)112376()1.06(1.06)(1.06)(1.06)k k k kk kk kk k k k ld IA k vp q k vk v d l l l d d d d l R D +++++++===+=+=+=+=++++=∑∑∑19.20. 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单:(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元。