第一章生命表1．给出生存函数()2 2500 xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。

(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。

(3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)FT (t)(4)fT(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q65。

4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30) Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30)∴10p60=S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。

(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．612P =（1-q 61）(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P ．q 62=0.0193710. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。

求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。

18. 19.20.24. 答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。

27.28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q [30]+3 29.第二章 趸缴纯保费 1. 设生存函数为()1100xs x =-(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费130:10Ā的值。

(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

2.设利力0.210.05t tδ=+，75x l x =-，075x ≤≤，求x A 。

5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：（1） 1:20x A （2） 1:20x A 6.试证在UDD 假设条件下： (1) 11::x n x n iδ=A A (2) 11:::x x n n x niδ=+ĀA A 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1m年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整1m年的时段数。

(1) 求该保险的趸缴纯保费()m x A 。

(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()()m x x m ii=A A9.10.(x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。

11.已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A12.设现年40岁的人购买一张保险金额为5000元的30年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试用换算函数计算该保单的趸缴纯保费。

500030:140A =5000×(M40-M70)/D40=388.6613.现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

解：1130:2030:2050005000RA R A =⇒= 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据1232030:2011111(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06)0.017785596281126.3727A R =++++===283285.0714.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。

试求趸缴纯保费。

趸交纯保费为1110|3535:101500020000A A + 所以趸交纯保费为1110|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=15．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。

保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。

试求R 值。

17.设年龄为50岁的人购买一张寿险保单，保单规定：被保险人在70岁之前死亡，给付金额为3000元；如至70岁仍生存，给付金额为1500元。

试求该寿险保单的趸交纯保费。

解：该趸交纯保费为：1 150:2050:2030001500A A + 18.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若（30）在第一个保单年度内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年递增1000元。

求此递增终身寿险的趸交纯保费。

该趸交纯保费为：30303030303040001000()40001000M RA IA D D +=+=3406.34 19.20． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。

若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。

解：保单1)精算式为11 1::::100075017501000750x n x n x n x nA A A A +=+=保单2)精算式为1 11 1:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x nA A A A A ++=+= 求解得1 1::7/17,1/34x n x nA A ==，即 21.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。

试求其趸缴纯保费。

=397.02第三章 年金精算现值1. 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e -=⋅(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。

(1)计算精算现值 x a (2)基金x a 足够用于实际支付年金的概率 2．设 10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =。

试求：（1）δ；（2）x Ā 。

3.设0.06x A =，0.05δ=。

试求20.01x A =：1）x a ；2）()T Var a 。

5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

7.某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。

而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。

试求此人每次所获得的年金额。

解：23:3637|2323:3637|2320002000a a R a R a =⇒=8.9.某人现年55岁，在人寿保险公司购有终生生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设下和利率6%下，计算其精算现值。

解：(12)(12)35353511250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 若查90-93年生命表换算表则 10． 在UDD 假设下，试证：(1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。

(2) ()()::()(1)m n x x nx n a m a m E αβ=-- 。

（3）()()::1(1)m m n x x n x na a E m=-- 11.12． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

（1）解：3130301200N a D =（2）(2)(2)3030351110001000()1000[(2)(2)]22a a a αβ=-=--（3）(4)(4)3030301110001000()1000[(4)(4)]44a a a αβ=-=-- （4）(12)(12)3030301110001000()1000[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 15．试证 (1) ()()m x x m a a i δ=(2) ():():m x n m x na a i δ= (3) ()lim m x xm a a →∞= (4) 12x x a a ≈- 16.很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。