1 b c 0 b 2
的图象经过点 A（m，0），B（0，n），∴ {
，∴ {
，∴ 抛物线解析式为
c 3
c 3
y x2 2x 3 ；
（2）令 y=0，则 x2 2x 3 0 ，∴ x1 1 ， x2 3 ，∴ C（3，0）， ∵ y x2 2x 3 = (x 1)2 4 ，∴ 顶点坐标 D（1，﹣4），过点 D 作 DE⊥y 轴，
∵ OB=OC=3，∴ BE=DE=1，∴ △ BOC 和△ BED 都是等腰直角三角形，∴ ∠ OBC=∠ DBE=45°， ∴ ∠ CBD=90°，∴ △ BCD 是直角三角形； （3）如图，∵ B（0，﹣3），C（3，0），∴ 直线 BC 解析式为 y=x﹣3，∵ 点 P 的横坐标为 t，PM⊥x 轴，∴ 点 M 的横坐标为 t，∵ 点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上，∴ P（t，t﹣
（1）将 C（0，﹣3）代入 y＝x+m，可得： m＝﹣3； （2）将 y＝0 代入 y＝x﹣3 得： x＝3， 所以点 B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入 y＝ax2+b 中，可得：
b 3 9a b
0
，
解得：
a
1 3
，
b 3
所以二次函数的解析式为：y 1 x2﹣3； 3
4．如图，过 A1, 0 、 B3,0 作 x 轴的垂线，分别交直线 y 4 x 于 C、D 两点.抛物线
y ax2 bx c 经过 O、C、D 三点．
1 求抛物线的表达式； 2 点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样
的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横 坐标；若不存在，请说明理由；
△ PMQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式．
【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△ BCD 是直角三角形；
（3）
S
1
2
1 t2 2 t2
3 2
3 t(0＜t＜3) 2 t (t＜0或t＞3)
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先解方程求出抛物线与 x 轴的交点，再判断出△ BOC 和△ BED 都是等腰直角三角形， 从而得到结论；
3
2
横坐标为： 3 或 3 3 2 或 3 3 2 ．
2
2
2
（3）∵ C（1，3），D（3，1），∴ 易得直线 OC 的解析式为 y=3x，直线 OD 的解析式为
y 1 x． 3
如解答图所示，设平移中的三角形为△ A'O'C'，点 C'在线段 CD 上．
设 O'C'与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P；
（3）存在，分以下两种情况：
①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D， 则∠ ODC＝45°+15°＝60°，
∴ OD＝OC•tan30° 3 ，
设 DC 为 y＝kx﹣3，代入（ 3 ，0），可得：k 3 ，
联立两个方程可得：
y y
1 3
3x x2
3 3
，
解得：
x1 y1
（1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D，求出点 C，D 的坐标， 并判断△ BCD 的形状； （3）点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，
交抛物线于点 M，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 为 2 个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，
设 A'C'与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q．
设水平方向的平移距离为 t（0≤t＜2），则图中 AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， 1 1 t）， 33
C'（1+t，3﹣t）．
设直线 O'C'的解析式为 y=3x+b，将 C'（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴ 直线 O'C'的解析式
为 y=3x﹣4t，∴ E（ 4 t，0）． 3
联立 y=3x﹣4t 与 y 1 x，解得：x 3 t，∴ P（ 3 t， 1 t）．
3
2
22
过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G，则 PG 1 t，∴ S=S△ OFQ﹣S△ OEP 1 OF•FQ 1 OE•PG
2
2
2
1 （1+t）（ 1 1 t） 1 • 4 t• 1 t
2
3 3 23 2
1 （t﹣1）2 1
6
3
当 t=1 时，S
【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点 的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问 中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到 MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问 中，解题的关键是求出 S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（6 分）（2015•牡丹江）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），B（3，
0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式； （2）点 E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，点 F 是 AE 中点，连接 FH，求线段 FH 的长．
设直线 OD 解析式为 y=kx，将 D（3，1）代入，求得 k 1 ，∴ 直线 OD 解析式为 y 1 x．
3
3
设点 M 的横坐标为 x，则 M（x， 1 x），N（x， 4 x2 13 x），∴ MN=|yM﹣yN|=| 1 x﹣
3
33
3
（ 4 x2 13 x）|=| 4 x2﹣4x|．
1）2 1 ；当 t=1 时，s 有最大值为 1 ．
3
3
【详解】
（1）由题意，可得 C（1，3），D（3，1）．
∵
抛物线过原点，∴
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴
a b 3 9a 3b
1
，解得
a b
4 3
13
，
3
∴ 抛物线的表达式为：y 4 x2 13 x． 33
（2）存在．
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由题意，可知 MN∥ AC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有
MN=AC=3．设点 M 的横坐标为 x，则求出 MN=| 4 x2﹣4x|；解方程| 4 x2﹣4x|=3，求出 x
3
3
的值，即点 M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为 t（0≤t＜2），利用平移性质求出 S 的表达式：S 1 （t﹣ 6
03， x2y2
3
3 6
，
所以 M1（3 3 ，6）；
②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E， 则∠ OEC＝45°-15°＝30°，
∴ OE＝OC•tan60°＝3 3 ，
设 EC 为 y＝kx﹣3，代入（3 3 ，0）可得：k 3 ， 3
3
联立两个方程可得：
y
3
x3
，
y
1 3
33
3
由题意，可知 MN∥ AC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有
MN=AC=3，∴ | 4 x2﹣4x|=3． 3
若 4 x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x 3 3 2 或 x 3 3 2 ；
3
2
2
若 4 x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x 3 ，∴ 存在满足条件的点 M，点 M 的
5．如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(-1，0) 、B(3，0) 两 点，且与 y 轴交于点 C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右
两边所在的直线与抛物线相交于 P、 Q 两点（点 P 在点 Q 的左侧），连接 PQ，在线段 PQ
（3）先求出 QF=1，再分两种情况，当点 P 在点 M 上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵ x2 +4x 3 0，∴ x1 1 ， x2 3 ，∵ m，n 是一元二次方程
x2 +4x 3 0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴ m=﹣1，n=﹣3，∵ 抛物线 y x2 2x 3
x2
3
解得：
x1 y1
03， xy22
3 2
，
所以 M2（ 3 ，﹣2）．
综上所述 M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
3．已知，m，n 是一元二次方程 x2+4x+3=0 的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（m，0），B（0，n），如图所示．
线段 FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．
2．如图，已知顶点为 C(0, 3) 的抛物线 y ax2 b(a 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线 y x m 过顶点 C 和点 B ．
（1）求 m 的值； （2）求函数 y ax2 b(a 0) 的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M ，使得 MCB 15 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存