x
2
x
28. 设 f x 满足 f t xdt x
x 0
2
2
e x 1 ,求 f x 的极值与渐近线 ,并
作 y f x 的图形. 29. 设 f 0 1, f 2 3, f 2 5 ,求 xf 2 x dx .
2
dt 的最大、最小值.
dx 的收敛性( p 为常数) x ln p x

4. 讨论广义积分
dx e2x 1
0
的收敛性.
0
5. 设 p 为任意实数,讨论 I 6. 计算广义积分 7. 计算 9. 求
2
足条件
f u du t f u du x f u du
xt x t 1 1 1
求 f x . 24* 设函数 f x 在 0, 内连续, f 1 3 ,且对所有 x, y 0, 满 足条件 f u du y f t dt x f t dt 求 f x .
0 0
2
2
2
2
2
2
求旋转体的体积. 10. 设直线 y ax 与抛物线 y x 所围成的面积为 S , 它们与直 线 x 1所围成的图形的面积为 S ,并且 a 1.
2
1
2
(1) 试确定 a 的值,使 S S 达到最小,并求出最小值; (2) 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转 体的体积. x at sin t , 11. 设外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 .
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
t
2. 求 f x 2 t e 3. 讨论
1 0
x 0
x
在 x 0 处的连续性.
22. 设 f x 在 0, 上可导, f 0 0 ,其反函数为 g x ,若 g t xdt x ln1 x 求 f x .
x f x 2 x
23. 设函数 f x 在 0, 内连续 , f 1 5 ,且对所有 x, t 0, 满
3
2 2 2
O
x
4
设油的密度为 ,若将罐内油全部泵出油罐,求所做的功. 25* 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进地层 .汽锤每 次击打 ,都将克服土层对桩的阻力而做功 .设土层对桩的阻力 的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k , k 0 ),汽锤 第一次击打将桩打进地下的深度 (单位: m )为 a .根据设计方案,
1 0
30. 计算
e
ln x x3
n
1 e
dx .
na n . 31. 设 an 3 0n1 x n1 1 x n dx ,求 lim n 2 ax sin x 32. 确定常数 a, b, c 的值,使 lim c0 x 0 x ln 1 t 3 b t dt
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
4
5. 已知曲线 y a x a 0 与曲线 y ln x 在点 x , y 处有公切线. (1) 求常数 a 及切点的坐标; (2) 求上述二曲线与 x 轴所 围图形的面积. 6. 在曲线 y x 1 上点 2,1 处引该曲线的法线,由该法线, x 轴 及该曲线围成的区域为 D ,求 D 绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的 体积. 7. 设曲线 y x x 2 与 y 轴的交点为 P ,过 P 点作该曲线的切 线,求切线与该曲线及 x 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周生成的旋 转体的体积. 8. 由 x y x 与 y x 确定的区域记为 A , 求 A 绕直线 x 2 旋转 一周所生成的旋转体的体积. 9. 由直线 x 1 与抛物线 y 2 x 所围成的图形绕直线 y 1 旋转,
t
0
20. 已知 f x 为连续函数, tf x t dt 1 cos x ,求 f x dx 的值.
x 0
2 0

21. 设 f x 连续 , x f xt dt , 且 lim f x A , 求 x 并讨论 x
x2
1
e t dt ,求 xf x dx .
2
1
0
1 e 2 x dx .
2
17. 计算 1 sin 3x cos x dx . 1 cos x
4 4

18. 计算 sin
2 2
x 0

3
x sin 2 x cos 2 xdx .


19. 设 f x sin tdt ,求 f x dx .


0

0
e sin xdx
x
.
1
8. 计 算
2 x 2 x 3 cos x dx .
sin 3 x sin 5 x dx .
9. 计算定积分 11. 12.
1 e 1 1 x2 1 x 2 , x 0, 设 f x x 求 13 f x 2dx . x 0. e , 1 设 x 0 时,有 f x 1x ln t dt, F x f x f ,求 F x 的表达式. 1 t x
2
1 n 1 n 0
5. 求积分 dx 2 x 3 6. 已知 f x cos x , f , 求积分 a , f b f x dx .
0 2
3 2
1 ex 1 ln 1 x
x
2
2
2
7. 求
2 2 2
2
2
又曲线 y f x 与 x 1, y 0 所围的图形 S 的面积为 2 ,求函数 f x ,并 问 a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 18* 曲线 y e e 与直线 x 0, x t t 0 及 y 0 围成一个曲边梯
x a cos 3 t , a 0, t 0,2 。 设星形线的参数方程为 3 y a sin t ,
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
y 2R
y yBiblioteka y 22. 某闸门的形状与大小如土所示 , D C h 1 以 y 轴为对称轴,闸门的上部为矩形 ABCD , 下部由 顶点位于原点的二次抛物线与线段 AB 所 A 1 围成, B 线段 AB 两端为 A 1,1 与 B1,1 . 当水面与闸 1 O 1 x 门 的 上 端相重合时 , 欲使闸门矩形部分承受的 水压力 与闸门下部承受的水压力之比为 5 : 4 ,问闸门矩形部分的高 h 应 为多少? 23. 设有三角形闸板,两直角边和为 l ,将其竖直放入水中 , 使一直角边与水面重合 , 另一直角边垂直向下 .问两直角边成 何比例时,三角形闸板承受水压力最大 ?设水的密度为 1t / m ,求 出此最大压力. 24. 一地下储油罐的内侧形状是由 x r R y R 位于一象 限的左侧 1 圆周与直线段 y 0,0 x a绕 y 轴旋转而成的旋转面.
一、定积分部分 1. 试比较下列两个积分的大小: I e
1 1 0
2 0
x2
1 dx, I 2 x 2 dx
0

1
2. 计算定积分 1 cos xdx 3. 设 f x 为连续非负函数,对所有大于 1 的常数 b ,由 1 x b 及 0 y f x 围成区域的面积为 b 1 2 ,求 f x . 4. 求极限 lim nx dx .
xy x y 1 1 1
25. 已知两曲线 y f x 与 y (1) 求此切线方程;
1 2 0
arctan x
0
e t dt 在点 0,0 处有公切线.
2
2 (2) 求极限 lim xf .
x
26. 计算定积分 ln 1 x dx . 27. 设 f x 的一个原函数为 sin x ,求 xf x dx .
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
1
10. 计算
2 x 1
dx e 3 x