第一章 晶体结构
1.6 晶向与晶面
晶体具有各向异性的特点,沿不同的晶向 或晶面的性质是不同的.
1.6.1 晶向及其表示 晶列—晶格中任意两个格点的连线。
第一章 晶体结构
三个晶轴的 单位矢量的 大小a、b、c 三个晶轴之 间的夹角 、、
x
z



y
图1 晶胞的空间坐标表示法
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
即(1/m)：(1/n)：(1/p)=h：k：l H, k, l为简单整数 4)将hkl放入圆括号内，即(hkl)
第一章 晶体结构
注意： (1)如晶面平行于某坐标轴，则在该轴上的指数 为0 (2) 如晶面与坐标轴相交在负端，则在相应指 数上加“—”号
(3)晶面总是按照一定周期重复出现，故（hkl） 代表相互平行的一组晶面
晶格中的格点可以看成是分布在一族平行的晶 列上。 一族晶列的方向相同，格点分布的规律也相同 不同族晶列的方向不相同，格点分布的规律也 不相同。
第一章 晶体结构
晶向(Crystal direction)—— 一族晶列的共同方向 确定晶向指数的具体步骤： 1) 过原点做平行于该晶向的直线 2) 求出该直线上任意一点的坐标（以a, b, c 为单位）
(110) (101) (011)
第一章 晶体结构
晶面间距d—晶面(hkl)中相邻两个平面间的距离
可以证明：
d
V h 2b 2 c 2 sinα k 2 a 2 c 2 sinβ l 2 a 2b 2 sinγ 2 hkabc cosαosα cosγ
2
2 kla bccos cosγ cosα
第一章 晶体结构
或：
2 3 u v 1 3 w 0
1 3 2 3 0
0 U V 0 W 1
第一章 晶体结构
或：
2 1 U V 1 2 W 0 0
对称元素举例
镜象变换-反映面 (x1，x2，x（-x1，-x2，-x3）
第一章 晶体结构
旋转对称操作： 1、n次旋转轴— 晶体绕其旋转θ=2 π /n角后可以使晶体与其自 身重合。 对比：球可以旋转任意角度与自身重合。
第一章 晶体结构
对称（Symmetry） 物体相同部分作有规律的重复
对称操作(Symmetry operation)— 不改变物体内部任意两点间距，使物体 各等同部分调换位置后恢复原状的操作
生 物 界 的 对 称 性
Snowflakes
对称性不变！
对称性特点：物体上存在若干个相等的部分， 或可以划分为若干个相等的部分。如果把这些 相等部分对换一下，就好象没有动过一样（即 物体复原），或者说这些相等部分都是有规律 重复出现的。
90
1 h k l 2 2 2 2 d a b c
2 2 2
V abc
第一章 晶体结构
六方晶系：
3 2 90 120 V ac 2 1 4 h hk k l ( ) 2 2 d 3 a c
2 2 2
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
即=2/n n=1,2,3,4,6
表明晶体中不存在5重对称轴。 在现实中不可能用五边形不留空隙地填满 一个平面。
转轴实例
转轴符号
转轴实例 m
m
m
转轴符号
4次轴
4 m
m
4
How about 5 fold symmetry?
It exists but only in aperiodic systems.
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
2 3
r r r' r'
T T
r' r' Dr ( Dr ) r D D(r )
T T T T
D D I
T
第一章 晶体结构
(2)如果一个晶体在某个正交变换下保持不变， 则称这个变换是晶体的一个对称操作。 (3) 晶体的正交变换总可以表示为绕某个轴的 旋转、对某个中心的反演以及旋转、反演的 组合。 绕轴的旋转，设转轴为x1,旋转旋转角为θ
对称元素－对物体进行对称操作的定轴、平面 或定点 （1）如果物体绕某个轴旋转2π/n及其倍数不变， 称该轴为n次旋转轴，记为n。 （2）如果物体对某个点反演不变，称该点为 对称心，记为i。 （3）如果物体绕某个轴旋转2π/n再反演不变， 称该轴为n次旋转反演轴，记为 。
n
（1）为纯旋转操作；(2)/(3)为非纯旋转操作
0 u 0 v w 1
第一章 晶体结构
例: 对六方晶胞的三轴体系的[100]晶向 解：∵U=1; V=0; W=0 ∴
2 3 u v 1 3 w 0
1 3 2 3 0
d 11 D (d ij ) d 21 d 31 d12 d 22 d 32 d13 d 23 d 33
第一章 晶体结构
点对称操作的特性： (1)这种几何变换是正交变换：即DTD=I 因为变换前后晶体中任意两点的距离不变，即：
x x x x' x' x'
0 1 0 0 0 1
第一章 晶体结构
2 1 1 u ;v ;t ; w 0 3 3 3 2 11 1 [ 0] [2110] 3 33 3
第一章 晶体结构
等效晶向族—由对称性联系的一组等同晶向 方向不同，但周期相同，原子排列方式相同。 以<uvw>表示等效晶向族 如<100>共有6个晶向 [100], [010], [001], [ 00], [0 0], [00 ]
晶体学对称轴的轴次定理：
晶体中只可能存在1,2,3,4,6重对称轴，不存在 5重和6重以上的对称轴
证明： ∵ AB与B’A’属于同一方向的点阵 ∴ T’=mT m为整数
第一章 晶体结构
B’
T’
A’
α
A T
α
B
第一章 晶体结构
又∵ T’=- 2Tcos()+ T ∴ cos()=(1-m)/2 m=-1,0,1,2,3 ∴ =0或= 2/1； 2/6； 2/4； 2/3； 2/2
但是对于准晶体，有可能存在5重对称轴或更 高次对称轴。
1984年由D.Shechtman在Al4Mn合金中发现， 我国郭可信院士等贡献巨大。
2011诺贝尔化学奖
quasicrystal
二维准晶模型： Penrose 拼图
5-fold: 非晶体学旋转 长程有序，但不是 周期性质
但四轴指数体系比较复杂，很难保证[uvtw]既 是晶格上一点，又满足u+v+t=0 一般用解析法从三轴指数求出四轴指数： 先从a1、a2、c轴系定出格点的三轴指数 [UVW]，再进行计算：
第一章 晶体结构
1 u ( 2U V ) 3 1 v ( 2V U ) 3 t (u v) w W
第一章 晶体结构
例2、六方密堆积的晶向指数
C
a3
A
B a4 a2
a1
D
第一章 晶体结构
解：六方晶格一般建立四坐标系a1、a2、 a3 、a4=c, 并满足a1+a2+a3=0, 即有[uvtw] 且u+v+t=0 1）对A晶向：过点（1,0,0,0） 则晶向应为[1000]，按照要求，实际为 [1，-1/2，-1/2，0]，故为 [2110]
2
2 hlab ccosγosγc cos
2
第一章 晶体结构
V=abc(1- cos 2 - cos2- cos2 + 2cos cos cos )1/2 对称性高的晶系，计算公式可以简化： 如立方晶系：
d
a h k l
2 2 2
第一章 晶体结构
正交晶系：
第一章 晶体结构
例1：试求出A、B、C、D各晶向的晶向 指数
B C D A
第一章 晶体结构
解：
1）对A晶向：过点（1,0,0） 则晶向为[100]
1 1 2）对B晶向：过点 ( , ,1) 2 2 则晶向为[112]
第一章 晶体结构
3）对C晶向：过点（1,1,1） 则晶向为[111]
1 1 4）对D晶向：过点 ( ,1, ) 2 2 则晶向为[121]
第一章 晶体结构
3)将这三个坐标值之比化简为最小整数比： u:v:w 4)将所得到的指数放入方括号[uvw]中。
第一章 晶体结构
注意： (1)如晶向垂直于某坐标轴，则在该轴上的 指数为0
(2) 如晶向与坐标轴相交在负端，则在相应 指数上加“-”号
(3)晶向总是按照一定周期重复出现，故 [uvw]代表相互平行的一组晶向
2）对B晶向：过点（1,0,0,1） 则晶向应为[1001]，实际为[1，-1/2，1/2，1]，故为 [2112]
第一章 晶体结构
3）对C晶向：过点（0,0,0,1） 则晶向应为[0001]。 4）对D晶向：过点（1,0,-1,0） 则晶向应为 [1010] ，满足要求，故为
[1010]
第一章 晶体结构
一、教材P.35 1.6; 1.9; 1.10 二、绘出立方晶胞里的晶向与晶面： [101]; [12 2] [301] (002);
(130) (312)
三、绘出六方晶胞里的晶向与晶面：
[0110]; [1120] ; [1011]
(0003); (1010) ; (0111)
第一章 晶体结构