p1 = 11 − 0.01 x1 , p2 = 12 − 0.02 x2 , p3 = 13 − 0.03 x3 , p4 = 14 − 0.04 x4
试确定四种产品的产量，以便使总受益最大。 试确定四种产品的产量，以便使总受益最大。
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6.2.1 非线性规划模型简介
x 1 = 0， x 2 = 6.9， x 3 = 23， x 4 = 53.86 ( x 5 是中间变量 是中间变量)
z = 1003.01
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6.2.2 非线性规划模型的实例
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2008
例6.12 工程造价问题
凡目标函数和约束条件中包含有非线性函数的 数学规划问题都称为非线性规划问题。 数学规划问题都称为非线性规划问题。它主要 分为无约束非线性规划与约束非线性规划。 分为无约束非线性规划与约束非线性规划。
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6.2.1 非线性规划模型简介
Mathematical Modeling
6.2.1 非线性规划模型简介
Mathematical Modeling
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例6.10
设用甲、乙、丙三种有限资源生产A, B, C, D四种产品、 设用甲、 丙三种有限资源生产 四种产品、 四种产品 产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表6.8所示 所示。 产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表 所示。
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由此得到数学模型为
min z = 8x2 (x1 + x3 ) +18x1 x3 s.t. x1 x2 x3 −1500 = 0 x1 − 2x2 = 0 x1 , x2 , x3 ≥ 0
非线性等式约束规划模型
软件求解， 用LINGO软件求解，得到仓库的设计方案为： 软件求解 得到仓库的设计方案为：
第一项是不变价格下的总收益， 第一项是不变价格下的总收益， 第二项是需要扣除的因价格变动造成的收益值
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6.2.1 非线性规划模型简介
Mathematical Modeling
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例6.10的求解 注意到资源约束，上述问题可表为 的求解 注意到资源约束，
非线性 规划问题
在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常 在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常 是一个不可忽略的重要因素： 是一个不可忽略的重要因素：上述模型由于适当 地考虑了价格的可变部分对总收益的影响， 地考虑了价格的可变部分对总收益的影响，而相 应的线性规划模型，总收益函数只能在假定某不 应的线性规划模型， 线性确定， 变价格的情况下由产量 x1 , x2 , x3和x4 线性确定， 故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。 故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。
第六章
数学规划方法建模
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第六章 数学规划方法建模
6.1 线性规划模型 6.2 6.3 非线性规划模型 整数规划模型
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6.2 非线性规划模型
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较之线性规划模型而言， 较之线性规划模型而言， 非线性规划模型更能真 实地反映问题的实质。 实地反映问题的实质。
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6.2.2 非线性规划模型的求解
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在此介绍用LINGO软件来求解非线性规划模型。 在此介绍用LINGO软件来求解非线性规划模型。 LINGO软件来求解非线性规划模型 非线性规划模型的求解具有一定的难度， 非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且求 解非线性规划问题的方法是多种多样的， 解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某些问 题有效的方法，对另外的问题却未必有效。 题有效的方法，对另外的问题却未必有效。 一般来说，求解非线性规划的全局最优解是困 一般来说， 难的，通常所得到的是局部最优解 局部最优解。 难的，通常所得到的是局部最优解。 还有,求解非线性规划问题的迭代常常是无限的， 还有,求解非线性规划问题的迭代常常是无限的， 即在迭代中将产生一个无穷点列，换言之， 即在迭代中将产生一个无穷点列，换言之，所得到 满足一定精度的近似解。 的结果一般是满足一定精度的近似解 的结果一般是满足一定精度的近似解。
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6.2.2 非线性规划模型的实例
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例6.12 工程造价问题
1. 模型建立
x1
x3
1）决策变量。 ）决策变量。 设仓库的宽、 设仓库的宽、髙、长分别为 x1 , x2 , x3 (m) 。 2）目标函数。 ）目标函数。 墙壁面积为 2( x1 x2 + x2 x3 ) 造价为 8( x1 x2 + x2 x3 ) 屋顶与地面面积为 x1 x3 造价为 18x1 x3 则目标函数为 z = 8( x1 x2 + x2 x3 ) + 8 x1 x3
Objective value: 1003.010 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.713858 X2 6.900608 0.4349500E-07 X3 23.00476 0.000000 X4 53.85646 0.000000 X5 132.8497 0.000000 最优值 最优解
s.t. hi ( x) ≥ 0 , i = 1, 2 , L , m
无约束的非线性规划模型与约束非线性规划模 型统称为非线性规划模型， 型统称为非线性规划模型，本节主要介绍约束线 性规划模型，简记成NLP NLP。 性规划模型，简记成NLP。
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6.2.2 非线性规划模型的求解
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求解例6.10中的非线性规划模型 例6.11 求解例 中的非线性规划模型
软件求解， 执行文件， 软件求解 打开LINGO执行文件，编程如下： 执行文件 编程如下： 解：用LINGO软件求解，打开
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例6.10的求解 的求解
设A, B, C, D四种产品的产量分别为 x1 , x2 , x3和x4 四种产品的产量分别为 则问题的目标函数（总收益函数） 则问题的目标函数（总收益函数）
z(x1 , x2 , x3 , x4 ) = p1x1 + p2 x2 + p3x3 + p4x4 = x1(11− 0.01x1) + x2 (12 − 0.02x2 ) + x3 (13− 0.03x3) + x4 (14 − 0.04x4 ) = (11x1 +12x2 +13x3 +14x4 ) − (0.01x12 + 0.02x22 + 0.03x32 + 0.04x42 )
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x2
例6.12 工程造价问题
3）约束条件 ） 容积限制 x1 x2 x3 − 1500 = 0 比例限制 x 1 − 2 x 2 = 0 非负限制 x1 , x2 , x3 ≥ 0 2. 模型求解
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x = ( x1 , x 2 , L , x n ) T,则其模型的矩阵形式为 若记
min f ( x ) s.t. x ∈ Ω
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6.2.1 非线性规划模型简介 2. 约束非线性规划模型 min f ( x1 , x2 , L, xn )
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无约束的非线性规划模型（以最小目标为例） 1. 无约束的非线性规划模型（以最小目标为例）
min f ( x1 , x2 , L , xn ) s.t. ( x1 , x2 , L , xn ) ∈Ω
其中， 其中，f 是x1 , x2 , L , xn 的非线性函数， 非线性函数， 称为可行域。 Ω ⊂ R n , Ω 称为可行域。
假定要建造容积为1500 的长方形仓库， 假定要建造容积为1500m3的长方形仓库， 1500 已知每平方米墙壁、 已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分 别为4元 别为 元，6元，12元，基于美学考虑，要 元 元 基于美学考虑， 求宽度应为高度的2倍 求宽度应为高度的 倍。 试建立使造价最省的数学模型。 试建立使造价最省的数学模型。
程序以“ 程序以“Model：”开始 ：
式子中可以有括号，右端可有数学符号。 式子中可以有括号，右端可有数学符号。
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6.2.2 非线性规划模型的求解
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求解例6.10中的非线性规划模型 例6.11 求解例 中的非线性规划模型 进行求解， 选择菜单 “Solve”进行求解，得到输出： 进行求解 得到输出：
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Ⅰ 30 0.5
Ⅱ 450
公司可使用营业 公司可使用营业 时间（h） 时间（ ）
800 2+0.25 x 2
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